§ 79. Равносильные системы.
Понятие равносильности для систем уравнений определяется так же, как и для уравнений (см. § 47).
Определение. Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если все решения каждой из них являются решениями и другой.
Системы, не имеющие решений, также считаются равносильными.
При решении системы уравнений, как и при решении уравнений с одним неизвестным, приходится переходить от данной системы к другой, более простой, от неё — к третьей и так далее, пока не получится простейшая система вида 
которая сразу дает значения неизвестных.
Возникает вопрос: будут ли все системы, которыми заменяется данная система, равносильны ей? Ведь только в этом случае мы можем быть уверены, что полученные решения будут решениями и данной системы уравнений, а также, что мы не получим посторонних решений.
Укажем на некоторые преобразования, после выполнения которых можно быть уверенным, что новая система будет равносильна данной.
1. Можно любое из уравнений системы заменить равносильным ему уравнением.
Например, системы:
равносильны, так как первое и второе уравнения первой системы заменены равносильными (§ 48, свойство 2).
Если имеем два уравнения 
то уравнение 
обычно называют суммой, а уравнение 
разностью данных уравнений.
2. Можно любое из уравнений системы заменить суммой или разностью данных уравнений, оставив другое уравнение без изменений.
Например, системы
равносильны, так как первое уравнение второй системы является суммой уравнений первой системы, а второе уравнение второй системы то же, что первое первой системы.
3. Можно из одного уравнения системы выразить какое-либо неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение. Новое уравнение вместе с первым образуют систему, равносильную данной.
Например, системы
равносильны (в первом уравнении х заменён выражением, найденным из второго уравнения).
