§ 113. Краткие исторические сведения.

Квадратные уравнения и способы их решения были известны в глубокой древности. Так, ещё за две тысячи лет до нашей эры задачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян к решению квадратных уравнений.

В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравнения решались геометрическим способом.

Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим способами.

Так как общая формула решения квадратных уравнений тогда ещё не была выведена, то аль-Хорезми приводит решения шести различных видов квадратных уравнений, например:

1. Один квадрат равен корням

2. Один квадрат и корни равны числу

3. Один квадрат и число равны корням

Приведём примеры решений аль-Хорезми обоими способами.

1. Раздели число корней пополам:

2. Умножь это число само на себя:

3. Вычти из него число:

4. Извлеки квадратный корень:

5. Этот корень прибавь к половине корней или вычти из неё:

Если записать все приведённые действия одной формулой, то получим:

Как видим, решение аль-Хорезми полностью совпадает с современным решением по формуле.

Приведём пример геометрического решения.

Пусть отрезок а отрезок

Строим квадрат со стороной, равной то есть равной и разбиваем его на четыре участка, как показано на чертеже.

Площадь квадрата равна . С другой стороны, площадь участков 1, 11 и 111 равна по условию 39, площадь IV равна 25. Значит, площадь всего квадрата равна Отсюда имеем:

Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, имеются в старинных китайских и индийских математических трактатах.

Приведём задачу из сочинения индийского математика Бхаскары.

Черт. 57.

Стая обезьян забавлялась; квадрат одной восьмой части их резвился в лесу; остальные двенадцать кричали на вершине холма. Скажи мне: сколько было всех обезьян?