§ 113. Краткие исторические сведения.
Квадратные уравнения и способы их решения были известны в глубокой древности. Так, ещё за две тысячи лет до нашей эры задачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян к решению квадратных уравнений.
В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравнения решались геометрическим способом.
Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим способами.
Так как общая формула решения квадратных уравнений тогда ещё не была выведена, то аль-Хорезми приводит решения шести различных видов квадратных уравнений, например:
1. Один квадрат равен корням
2. Один квадрат и корни равны числу
3. Один квадрат и число равны корням
Приведём примеры решений аль-Хорезми обоими способами.
1. Раздели число корней пополам:
2. Умножь это число само на себя:
3. Вычти из него число:
4. Извлеки квадратный корень:
5. Этот корень прибавь к половине корней или вычти из неё:
Если записать все приведённые действия одной формулой, то получим:
Как видим, решение аль-Хорезми полностью совпадает с современным решением по формуле.
Приведём пример геометрического решения.
Пусть отрезок
а отрезок
Строим квадрат со стороной, равной
то есть равной
и разбиваем его на четыре участка, как показано на чертеже.
Площадь квадрата равна
. С другой стороны, площадь участков 1, 11 и 111 равна по условию 39, площадь IV равна 25. Значит, площадь всего квадрата равна
Отсюда имеем:
Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, имеются в старинных китайских и индийских математических трактатах.
Приведём задачу из сочинения индийского математика Бхаскары.
Черт. 57.
Стая обезьян забавлялась; квадрат одной восьмой части их резвился в лесу; остальные двенадцать кричали на вершине холма. Скажи мне: сколько было всех обезьян?