Главная > Алгебра. Учебник для 6-8 классов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 124. График трехчлена y = ax^2+bx+c

Построим график функции и сравним между собой функции

и

Мы видим, что при одном и том же значении аргумента х значения у функции (2) будут в 2 раза больше значений функции (1). Например:

Это значит, что ордината каждой точки графика функции (2) равна удвоенной ординате точки с той же абсциссой графика функции (1).

Отсюда следует, что график функции (2) можно получить так: построить график функции (1) (черт. 74) и удвоить ординату каждой его точки.

Наглядно это преобразование можно представить при помощи следующей модели.

Черт. 74.

Представим себе ось ОХ в виде неподвижной планки, а верхнюю полуплоскость — в виде растяжимой (например, резиновой) плёнки, на которой начерчена парабола Если теперь растянуть плёнку по направлению вверх в 2 раза, то парабола перейдёт в параболу (черт. 75).

Полученная линия (черт. 75) и будет графиком функции (2). Эта линия тоже называется параболой. По сравнению с параболой она «более круто» поднимается вверх.

Рассмотрим теперь функцию

Чтобы перейти от графика (1) к графику (3), достаточно все ординаты точек графика (1) уменьшить в 2 раза.

Черт. 75.

На нашей модели это будет соответствовать не растяжению, а сжатию плёнки в 2 раза. Вообще, чтобы построить график функции где а — положительное число, достаточно все ординаты точек параболы умножить на а.

При помощи нашей модели этот переход можно пояснить как растяжение при (в а раз) либо сжатие при в раза основной параболы

Рассмотрим график функции

Очевидно, при любом значении х значения у в (2) и (4) будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Это значит, что точки графиков функций (2) и (4) с одной и той же абсциссой имеют противоположные ординаты, то есть расположены симметрично относительно оси абсцисс.

Отсюда следует, что и весь график функции (4) будет симметричен с графиком (2) относительно оси абсцисс.

Таким образом, график функции можно получить, повернув (в пространстве) график функции на 180° вокруг оси абсцисс.

Иначе говоря, парабола получается зеркальным отражением параболы в оси абсцисс.

Вообще, при график функции можно получить из основной параболы так: умножить ординаты точек параболы на (растяжение либо сжатие), а затем зеркально отразить полученную параболу в оси абсцисс.

На чертеже 76 изображён ряд парабол при различных значениях а. Мы видим, что при параболы обращены вогнутостью вверх, а при — вниз.

Построим график полного квадратного трёхчлена, например:

Проделаем такие преобразования. Вынесем за скобку коэффициент при а затем выделим полный квадрат:

и, наконец,

Этот график можно получить из параболы постепенными преобразованиями так:

1) перенесём параболу на 1 единицу влево (черт. 77а), получим:

2) умножим все ординаты на 2 (растяжение в 2 раза), получим:

(кликните для просмотра скана)

3) перенесём последний график вверх на 4 единицы, получим искомый график (черт. 776):

Черт. 77 а.

Черт. 77 б.

Примечание, Практически можно ограничиться построением лишь одной параболы. Для этого достаточно через точку (-1; 4) провести оси параллельные осям и во вспомогательной системе координат построить (например, по точкам) параболу

Рассмотрим еще пример; построим график

Представим данную функцию в следующем виде:

Строим график постепенно так:

1) переносим параболу на 3 единицы вправо:

2) умножаем ординаты на (сжатие):

3) отражаем зеркально в оси абсцисс:

4) переносим вверх на 2 единицы:

Всё сказанное применимо к квадратному трёхчлену с любыми коэффициентами.

Рассмотрим квадратный трёхчлен в общем виде:

Выполним такие преобразования:

и, наконец,

Мы видим, что искомый график можно получить, перенеся параболу на — в направлении оси абсцисс, умножив ординаты точек полученной параболы на а и перенеся последний график на направлении оси ординат.

В результате этих преобразований вершина параболы окажется в точке при этом парабола обращена вогнутостью вверх при и вниз при .

1
Оглавление
email@scask.ru