§ 124. График трехчлена y = ax^2+bx+c

Построим график функции и сравним между собой функции

и

Мы видим, что при одном и том же значении аргумента х значения у функции (2) будут в 2 раза больше значений функции (1). Например:

Это значит, что ордината каждой точки графика функции (2) равна удвоенной ординате точки с той же абсциссой графика функции (1).

Отсюда следует, что график функции (2) можно получить так: построить график функции (1) (черт. 74) и удвоить ординату каждой его точки.

Наглядно это преобразование можно представить при помощи следующей модели.

Черт. 74.

Представим себе ось ОХ в виде неподвижной планки, а верхнюю полуплоскость — в виде растяжимой (например, резиновой) плёнки, на которой начерчена парабола Если теперь растянуть плёнку по направлению вверх в 2 раза, то парабола перейдёт в параболу (черт. 75).

Полученная линия (черт. 75) и будет графиком функции (2). Эта линия тоже называется параболой. По сравнению с параболой она «более круто» поднимается вверх.

Рассмотрим теперь функцию

Чтобы перейти от графика (1) к графику (3), достаточно все ординаты точек графика (1) уменьшить в 2 раза.

Черт. 75.

На нашей модели это будет соответствовать не растяжению, а сжатию плёнки в 2 раза. Вообще, чтобы построить график функции где а — положительное число, достаточно все ординаты точек параболы умножить на а.

При помощи нашей модели этот переход можно пояснить как растяжение при (в а раз) либо сжатие при в раза основной параболы

Рассмотрим график функции

Очевидно, при любом значении х значения у в (2) и (4) будут равны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Это значит, что точки графиков функций (2) и (4) с одной и той же абсциссой имеют противоположные ординаты, то есть расположены симметрично относительно оси абсцисс.

Отсюда следует, что и весь график функции (4) будет симметричен с графиком (2) относительно оси абсцисс.

Таким образом, график функции можно получить, повернув (в пространстве) график функции на 180° вокруг оси абсцисс.

Иначе говоря, парабола получается зеркальным отражением параболы в оси абсцисс.

Вообще, при график функции можно получить из основной параболы так: умножить ординаты точек параболы на (растяжение либо сжатие), а затем зеркально отразить полученную параболу в оси абсцисс.

На чертеже 76 изображён ряд парабол при различных значениях а. Мы видим, что при параболы обращены вогнутостью вверх, а при — вниз.

Построим график полного квадратного трёхчлена, например:

Проделаем такие преобразования. Вынесем за скобку коэффициент при а затем выделим полный квадрат:

и, наконец,

Этот график можно получить из параболы постепенными преобразованиями так:

1) перенесём параболу на 1 единицу влево (черт. 77а), получим:

2) умножим все ординаты на 2 (растяжение в 2 раза), получим:

(кликните для просмотра скана)

3) перенесём последний график вверх на 4 единицы, получим искомый график (черт. 776):

Черт. 77 а.

Черт. 77 б.

Примечание, Практически можно ограничиться построением лишь одной параболы. Для этого достаточно через точку (-1; 4) провести оси параллельные осям и во вспомогательной системе координат построить (например, по точкам) параболу

Рассмотрим еще пример; построим график

Представим данную функцию в следующем виде:

Строим график постепенно так:

1) переносим параболу на 3 единицы вправо:

2) умножаем ординаты на (сжатие):

3) отражаем зеркально в оси абсцисс:

4) переносим вверх на 2 единицы:

Всё сказанное применимо к квадратному трёхчлену с любыми коэффициентами.

Рассмотрим квадратный трёхчлен в общем виде:

Выполним такие преобразования:

и, наконец,

Мы видим, что искомый график можно получить, перенеся параболу на — в направлении оси абсцисс, умножив ординаты точек полученной параболы на а и перенеся последний график на направлении оси ординат.

В результате этих преобразований вершина параболы окажется в точке при этом парабола обращена вогнутостью вверх при и вниз при .