§ 12. Сложение рациональных чисел.

Нам нужно теперь установить правила действий с рациональными числами, то есть правила сложения, вычитания, умножения и деления любых рациональных чисел. Начнём со сложения.

Постараемся установить такое правило сложения рациональных чисел, чтобы выполнить три следующих требования:

1. Чтобы задачи, которые в арифметике (то есть для положительных чисел) решались сложением, решались бы тем же действием в случае любых рациональных чисел.

2. Чтобы правило сложения любых рациональных чисел осталось для положительных чисел тем же, каким мы его знаем из арифметики.

3. Чтобы основные законы сложения, известные для положительных чисел (§ 5), сохранились и для сложения любых рациональных чисел.

Возьмём поэтому задачу, которая в арифметике решалась сложением, например:

Термометр показывал . Затем температура изменилась на . Сколько градусов показывает термометр теперь?

Пусть — положительные числа. Положительное изменение температуры есть её повышение. Для решения этой задачи мы должны к прибавить 6°. Получим ответ:

Проверим это на примере,

1) Пусть Значит, термометр показывал 4° тепла, затем температура повысилась на 2°. Очевидно, термометр показывает теперь 6° (черт. 6). Следовательно,

как и должно быть.

Черт. 6.

Посмотрим теперь, какие значения должна принимать сумма при различных рациональных (не только положительных) значениях a и b.

2) Пусть

Отрицательное изменение температуры есть её понижение. Значит, термометр показывал сначала 4° холода, затем температура ещё понизилась на 2°. Ясно, что теперь термометр показывает —6° (черт. 7).

Следовательно,

Сравнивая результаты задач 1 и 2, установим следующее правило.

Правило 1. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их абсолютные величины и перед результатом поставить их общий знак.

Так, чтобы сложить сложим их абсолютные величины, то есть 11 и 8, и перед полученным числом 19 поставим знак минус. Получим:

Сложение положительных чисел остается таким же, каким мы его знаем из арифметики.

3) Пусть

Черт. 7.

Черт. 8.

Черт. 9.

Значит, термометр показывал сначала 6° тепла, а затем температура понизилась на 2°. Очевидно, сейчас термометр показывает 4° тепла (черт. 8).

Следовательно, если мы хотим, чтобы и в этом случае задача решалась сложением, то должны будем записать:

4) Пусть

Так же как и в предыдущем случае, найдём, что термометр после понижения температуры на 6° стал показывать 4° холода (черт. 9).

Значит, решая и эту задачу сложением, мы должны записать:

Рассматривая случаи 3 и 4, установим правило.

Правило 2. Чтобы сложить два числа с противоположными знаками и с разными абсолютными величинами, надо из большей абсолютной величины вычесть меньшую и перед разностью поставить знак числа с большей абсолютной величиной.

Так, например, по этому правилу получим:

5) Пусть

Если термометр показывал 3° тепла, а затем температура понизилась на 3°, то термометр будет показывать 0°. Ясно также, что какое бы число тепла ни показывал термометр, если затем температура понизится на то термометр будет показывать 0°.

Значит,

Правило 3. Сумма двух противоположных чисел равна нулю:

Отметим, что будет верно и обратное положение.

Если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны.

Наконец, легко установить (и проверить на том же термометре), что, например:

Правило 4. Если одно из двух слагаемых равно нулю, то их сумма равна другому слагаемому.

Установленные здесь четыре правила исчерпывают все возможные случаи сложения двух рациональных чисел.