§ 125. Возрастание и убывание квадратного трёхчлена.

Рассматривая параболу мы видим, что при положительных значениях аргумента х линия «поднимается вверх», а при отрицательных «опускается вниз». Из чертежа 78 видно, что если взять два положительных значения аргумента то большему значению аргумента х соответствует большее значение функции у: если

Черт. 78.

Черт. 79.

Возьмём теперь значения отрицательными. Тогда, как показывает чертёж 79, если то

Значит, большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции у.

В общем случае можно рассуждать так: пусть — два положительных числа, причём

Вычислим соответствующие значения функции:

Чтобы узнать, какое из чисел, или больше, составим их разность:

Сумма положительных чисел положительна и разность положительна, так как мы взяли Правая часть равенства (1) есть произведение положительных чисел, а потому положительна. Это значит, что разность положительна, но тогда Значит, при действительно

Определение. Если из двух различных значений аргумента большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то данная функция называется возрастающей.

Следовательно, при положительных значениях аргумента х функция возрастает.

Возьмём теперь два отрицательных значения так, что Мы уже составили разность и представили её в виде произведения:

Теперь (в отличие от предыдущего случая) сумма отрицательных чисел будет отрицательна, а потому разность окажется отрицательной, то есть при имеем

Определение. Если из двух различных значений аргумента большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то данная функция называется убывающей.

Следовательно, при отрицательных значениях аргумента функция убывает.

То же самое можно сказать про возрастание и убывание функции , где а — положительное число.

При функция убывает, при возрастает, при имеет наименьшее значение

Очевидно, что при отрицательном коэффициенте а имеет место противоположное заключение, а именно:

при функция возрастает, при убывает, при имеет наибольшее значение

Формула преобразования квадратного трёхчлена

позволяет ответить на вопрос о возрастании и убывании квадратного трёхчлена общего вида с. Вершина параболы оказалась перенесённой в точку но при переносе параболы направление её вогнутости (вверх или вниз) не изменяется.

Значит, если , то при трёхчлен убывает, при возрастает, при имеет наименьшее значение, равное

Если то при х трёхчлен возрастает, при х убывает, при имеет наибольшее значение, равное .

Задача. Забором данной длины требуется огородить прямоугольный участок, прилегающий к стене.

Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть х и у — длина и ширина участка (черт. 80); тогда где — площадь участка. Но по условию длина забора равна откуда , значит,

Мы видим, что площадь выражается квадратным трёхчленом, в котором . Этот трёхчлен имеет наибольшее значение при , тогда

Итак, мы нашли стороны участка, имеющего наибольшую площадь:

Заметим, что можно было бы и не пользоваться готовой формулой, а применить к трёхчлену преобразование выделения полного квадрата:

Черт. 80.

Отсюда ясно, что наибольшее значение S есть 1250 при .