§ 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами.
Покажем на примерах решение уравнений первой степени с буквенными коэффициентами.
Пример 1. Решить уравнение:
где а — данное число.
1) Раскроем скобки:
2) Перенесём члены, содержащие неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:
3) Приведём подобные члены:
Разделив обе части уравнения (3) на 3, получим следующее решение:
Если букве а придать какое-нибудь определённое значение, например положить то уравнение (1) обратится в уравнение с числовыми коэффициентами:
Теперь нет необходимости решать это последнее уравнение, так как достаточно заменить а в формуле (4) числом 3:
Пример 2. Решить уравнение:
1) Раскроем скобки:
2) Перенесём члены, содержащие неизвестное, в левую, а свободные члены — в правую часть:
3) Приведём подобные члены:
Это последнее уравнение мы сможем решить, если коэффициент при х не равен нулю (то есть или ):
Если то на нуль делить нельзя, а потому нельзя применять формулу (4).
Уравнение (3) равносильно уравнению (1); но если в уравнение (3) подставить то получится уравнение которое не имеет корней.
Поэтому при уравнение (3), а значит, и уравнение (1) не имеют корней.
Пример 3.
При правая часть уравнения теряет смысл. Говорят, что не является допустимым значением для а. Поэтому будем считать, что а не равно нулю.
1) У множив обе части уравнения на 2а, после сокращений получим:
2) Раскроем скобки:
3) Сгруппируем члены, содержащие неизвестное, а одной части, а свободные члены — в другой:
4) Приведём подобные члены:
или
Если коэффициент при х не равен нулю, получим:
Если то уравнение (2) примет вид:
Очевидно, что это равенство будет верным при любом значении х, так как нуль, умноженный на любое число, даст в результате нуль.
Уравнение (1), равносильное уравнению (2), будет удовлетворяться всеми значениями х. Это можно проверить, подставив в данное уравнение (1):
Последнее равенство верно при всех значениях х.
Окончательный ответ запишем так:
2) Уравнению удовлетворяет любое число, если (напомним, что при заданное уравнение теряет смысл, а потому значение не рассматривается).