§ 55. Вынесение за скобки общего множителя.

Пример 1. Пусть дан многочлен:

Легко видеть, что все его члены имеют общим множителем 2а, так что можно это выражение записать а таком виде:

Применив распределительный закон, получим»

Таким образом, данный многочлен мы представили в виде произведения одночлена и многочлена.

Из этого примера видно, что для разложения многочлена на множители путём вынесения за скобка общего множителя следует:

1) определить этот общий множитель,

2) разделить на него данный многочлен,

3) записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Покажем на примере, как это обычно делается.

Пример 2. Разложить на множители многочлен:

1) Заметим, что число 6 является общим делителем коэффициентов всех членов данного многочлена.

2) Берём первую букву первого члена х и смотрим, в какой степени она входит во все члены. Наименьший показатель х равен двум (в третьем члене). Отсюда следует, что все члены многочлена делятся на х, то есть является их общим делителем.

3) Находим, что вторая буква первого члена у должна быть взята в первой степени. (Букву не рассматриваем, так как уже в первом члене она отсутствует.)

Таким образом, общим делителем всех членов многочлена является одночлен

Остаётся найти частное от деления данного многочлена на этот одночлен.

Получим:

Это и есть окончательный результат.

Пример 3. Разложить на множители многочлен;

Здесь сразу видно, что общим множителем может быть лишь 2а, так как на 2 и на а делятся все члены; с другой стороны, последний член 2а никакого другого множителя не имеет. Поступив, как в предыдущем примере, получим:

Иногда алгебраическое выражение представляет собой алгебраическую сумму двух или нескольких слагаемых,

причём все они имеют один и тот же многочленный множитель. Тогда он выносится за скобки так же, как и отдельная буква.

Пример 4. Разложить на множители:

Общий множитель будет

Получим: