§ 57. Применение формул сокращённого умножения.

Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив одну из формул сокращённого умножения (§ 41). Запишем третью из формул § 41 в обратном порядке:

В левой части этого равенства двучлен, в правой же он представлен в виде произведения, то есть разложен на множители.

Значит, разность квадратов двух чисел можно представить в виде произведения суммы этих чисел на их разность.

Пример.

Возьмём теперь формулу:

Значит, если данный трёхчлен представляет собой сумму двух квадратов, сложенную с удвоенным произведением их оснований, то его можно представить в виде квадрата суммы (то есть в виде произведения двух одинаковых множителей).

Примеры.

Точно так же применяется формула

Примеры.

2. Вычислить выражение

Вычисление выполняется в уме, если выражение разложить на множители:

Подставив в правую часть сразу получаем:

Так же применяются формулы:

Пример.

Вычислить выражение

Разложив данный многочлен на множители, получим;

Подставив найдём:

Кроме перечисленных выше формул сокращённого умножения, применяются ещё формулы, позволяющие разложить на множители сумму или разность кубов двух чисел.

Рассмотрим трёхчлен который называется неполным квадратом разности чисел а и Ь. Умножим его на

Отсюда имеем:

Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.

Эту формулу можно читать справа налево так:

Сумма кубов двух чисел равна сумме этих чисел, умноженной на неполный квадрат их разности:

Это и есть формула разложения на множители суммы кубов двух чисел.

Умножим трехчлен который называется неполным квадратом суммы чисел а и на

Отсюда имеем:

Эту формулу можно читать и справа налево:

Формулы (3) и (4) читаются так:

Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

Разность кубов двух чисел равна разности этих чисел умноженной на неполный квадрат их суммы.

Примеры.