§ 33. Сложение одночленов и многочленов.

1. Сложение одночленов.

Пусть требуется сложить одночлены:

Получим:

Полученное выражение является алгебраической суммой. Согласно введённому условию (§ 16) мы можем внак сложения везде опустить и написать короче:

В этом выражении имеется два подобных члена.

Приведём их и заодно расположим многочлен по убывающим степеням относительно х:

(Проверить подстановкой в данные одночлены и в полученную сумму значений:

Значит, мы можем вывести такое правило:

Чтобы сложить одночлены, достаточно записать их (в виде алгебраической суммы) один за другим с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, то их надо привести.

2. Сложение многочленов.

Решим задачу. В одной корзине было х яблок, в другой на у яблок больше, чем в первой, а в третьей на 27 яблок меньше, чем во второй. Сколько яблок было во всех трёх корзинах?

Решение.

1) В первой корзине было х яблок.

2) Во второй корзине было яблок.

3) В третьей корзине было яблок.

4) В трёх корзинах было яблок.

Полученный ответ представляет собой сумму одночлена и двух многочленов.

Упростим этот ответ. Мы знаем, что каждое из выражений является алгебраической суммой. Поэтому по правилу прибавления суммы можем записать:

После приведения подобных членов получим окончательно:

Определить, сколько было яблок в корзинах, если:

Значит, мы можем вывести такое правило для сложения многочленов:

Чтобы сложить многочлены, надо запасать последовательно (в виде алгебраической суммы) все их члены с их знаками.

Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.

3. Раскрытие скобок.

При решении предыдущей задачи пришлось раскрывать скобки, перед каждой из которых стоял знак плюо. Значит, можно сделать вывод:

Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками.

Примечание. Если выражение начинается со скобки, перед которой нет никакого знака, то подразумевается знак плюс, например:

4. Заключение в скобки.

Иногда бывает нужно, наоборот, заключить многочлен или часть его в скобки. Так мы поступали, делая приведение подобных членов (см. пример предыдущего параграфа). Возьмём такой пример. Пусть надо вычислить выражение:

Очевидно, что здесь выгоднее сначала вычесть 238 из 258 и разность 20 прибавить к 136. Вычисления легко и быстро выполняются в уме. Чтобы показать это, заключим второй и третий члены в скобки:

Пусть вообще нужно заключить в скобки многочлен или часть его и перед скобкой поставить знак плюс. Будем руководствоваться следующим правилом:

Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком плюс перед ними, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками:

Убедиться в верности этого равенства легко, раскрыв скобки по правилу, изложенному в п. 3.

5. Сложение расположенных многочленов.

Если многочлены расположены по степеням одной и той же буквы (оба по возрастающим или оба по убывающим), то их сложение удобнее производить следующим образом: подписывают один многочлен под другим так, чтобы подобные члены находились один под другим; после этого сразу делают приведение подобных членов и записывают окончательный результат.

Пример I.

Так же производится сложение расположенных многочленов и тогда, когда они содержат более одной буквы.

Пример 2.