§ 96. Извлечение корня с точностью до 0,1; 0,01 и т. д.
Пусть требуется найти У 2,35104 с точностью до (с недостатком). Расположим вычисления так:
Мы сначала находим приближённый корень с точностью до 1 только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру 1 и ставим после неё запятую. Теперь находим цифру десятых. Для этого приписываем к остатку 1 цифры 3 и 5, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечение так, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближённым корнем С точностью до 
видно наследующего; если бы
мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15, значит,
Разделив каждое из этих чисел на 100, получим;
или
в, наконец,
Пусть требуется найти с точностью до приближённый 
с недостатком. Найдём целое число, потом — цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо, как мы видели, приписать к остатку 23 еще две цифры, стоящие направо от запятой:
В нашем примере этих цифр нет вовсе; ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24 800, мы найдём цифру десятых 7. Остаётся найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 ещё два нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 480000. Получаем 15,74. Что это число действительно есть приближённый корень из 248 с точностью до 
с недостатком, видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы 1574, значит,
Разделив каждое из этих чисел на 10 000 (100^2), получим:
или
Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближённым корнем с недостатком с точностью до из 248.
Правило. Чтобы извлечь из данного целого числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с недостатком с точностью до до 
до 
и т. д., находят сначала приближенный корень с недостатком с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут в корне 0 целых).
Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку приписывают две цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.
Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку приписывают снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.
Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью число надо делить на грани по две цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо (в дробной части).
Примеры.
1. Извлечь с точностью до 
корни:
2. Извлечь с точностью до 
В последнем примере мы обратили дробь у в десятичную, вычислив восемь десятичных знаков, чтобы образовались четыре грани, потребные для нахождения четырёх десятичных знаков корня.
