§ 47. Равносильные уравнения.

Решим уравнения:

Получим:

Оба эти уравнения имеют один и тот же единственный корень.

Определение. Два уравнения называются равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое.

Значит, приведённые выше два уравнения являются равносильными.

Наоборот, такие, например, уравнения:

неравносильны, так как первое имеет корни 2 и 5, а второе только корень 2; значит, корни у них не одни и те же. Возьмём такие два уравнения:

Оба уравнения удовлетворяются любыми значениями х. Чтобы убедиться в этом, раскроем скобки в обоих уравнениях:

или

В обеих частях каждого уравнения стоит одно и то же выражение, поэтому понятно, что при любых значениях х правые и левые части каждого из этих уравнения равны одному и тому же числу.

Согласно нашему определению, эти уравнения тоже будут равносильными, так как все корни любого из них являются корнями и другого.

Наконец, если возьмём такие уравнения:

то убедимся, что оба они не имеют корней. В самом деле, какие бы значения ни давали х, в первом уравнении всегда значение правой части будет на 3 больше значения левой, и, следовательно, ни при каком значении х мы на получим верного равенства.

Точно так же при любых значениях х значение левой части второго уравнения будет всегда на 7 больше значения правой, и никогда они не смогут оказаться равными.

Итак, оба эти уравнения не имеют ни одного корня.

Уравнения, которые не имеют корней, также считаются равносильными.

Вспомним, как мы до сих пор решали уравнения.

Решим для примера уравнение

Рассматривая как неизвестное уменьшаемое, можем написать:

Рассматривая как неизвестное делимое, приходим к уравнению

Наконец, рассматривая х как неизвестный множитель, приходим к уравнению

из которого заключаем, что корнем его, а значит, и всех предыдущих уравнений является число 32.

Таким образом, мы переходили от одного уравнения к другому, более простому. Найдя, что уравнение (4) имеет единственный корень 32, заключили, что этот единственный корень имеют и уравнения (3), (2) и, наконец, заданное (1). Мы, следовательно, считали, что все эти четыре уравнения равносильны.

Но действительно ли так обстоит дело? Действительно ли при всех преобразованиях, которые производились над уравнениями, мы каждый раз получали уравнение, равносильное предыдущему?

Выяснению этого вопроса посвящён следующий параграф.