§ 75. Линейная зависимость.

1. Определение линейной зависимости.

Задача. Пионерский отряд отправился из города в поход. Сейчас он находится в

5 км от города и идёт со скоростью 3 км в час. На каком расстоянии от города он будет через х часов?

Черт. 25 .

Решение. За х часов отряд пройдет километров, Да ещё ранее он прошёл 5 км. Значит, через х часов расстояние от города будет равно километрам. Обозначив это расстояние через у, будем иметь;

Это равенство выражает зависимость пути от времени, но это уже не будет прямо пропорциональная зависимость, как легко видеть из следующей таблицы

Отношение пути ко времени здесь не равно одному и тому же числу.

Определение. Зависимость между двумя величинами х и у, выражающаяся формулой где к и — числа, называется линейной зависимостью.

В частности, если то

Значит, прямо пропорциональная зависимость является частным случаем линейной зависимости.

2. График линейной зависимости.

Построим график какой-либо данной линейной зависимости; положим, например,

Поступим следующим образом. Построим сначала график зависимости

Это будет прямая, проходящая через начало координат (черт. 26).

Черт. 26.

Посмотрим, как будут расположены относительно этой прямой точки графика линейной зависимости:

Составим, например, такую таблицу значений х и у:

Мы видим, что при любой абсциссе ордината точки второго графика на 3 единицы больше ординаты точки первого графика. Значит, и соответствующая точка второго графика будет на 3 единицы выше точки первого.

Построив эти точки, получим прямую, параллельную первой прямой (черт. 26).

Графиком линейной зависимости является прямая.

Отсюда следует, что для построения графика линейной зависимости достаточно найти две его точки.

Покажем это на рассмотренном примере

Положив получим . Итак, одну точку мы нашли. Положив ещё получим Вторая точка (2; 7). Построив эти точки и проведя через них прямую, получим искомый график, то есть график линейной зависимости, выраженной формулой

Обычно для построения графика линейной зависимости берут две точки, в которых прямая пересекает оси координат. Так, полагая получим Полагая получим Проведя прямую через точки получим искомый график (черт. 27).

Черт. 27.