§ 52. Решение задач с помощью уравнений.

Вспомним, в каком порядке мы до сих пор решали задачи с помощью уравнений.

1. Обозначали буквой (обычно буквой х) неизвестное число, определить которое требуется вопросом задачи.

2. С помощью этой буквы и данных в задаче чисел выражали другие неизвестные числа, о которых говорится в задаче.

3. Составляли выражение, которое было бы равно одному из чисел, данных в задаче.

4. Приравнивали полученное выражение и к этому числу. Получали уравнение.

5. Решали уравнение и получали ответ на вопрос задачи.

6. Если задача требовала найти не одно, а несколько чисел, то, узнав одно из них, находили и остальные.

Покажем все эти этапы на решении таких задач.

Задача 1. Длина Днепра и Дона вместе равна 4255 км. Днепр длиннее Дона на 315 км. Какова длина Днепра и Дона в отдельности?

1) В задаче требуется узнать два числа: длину Днепра и длину Дона. Обозначим через х любое из них, например длину Дона. Запишем это:

длина Дона х километров.

2) Другое неизвестное число — длина Днепра. Но в задаче сказано, что Днепр длиннее Дона на 315 км. Значит, чтобы выразить длину Днепра, достаточно к длине Дона прибавить 315 км. Запишем:

длина Днепра километров.

3) В задаче имеется еще одно данное — общая длина Днепра и Дона. Но мы можем выразить эту общую длину и другим способом, сложив уже выраженные через х длины Дона и Днепра.

Запишем: длина Дона и Днепра вместе километров.

4) Так как эта общая длина Днепра и Дона по условию задачи равна 4255 км, то составляем уравнение:

5) Решив уравнение, найдём:

Итак, длина Дона равна 1970 км.

6) В задаче требуется найти ещё длину Днепра. Но она у нас уже записана во втором пункте. Подставив 1970 вместо х, получим:

длина Днепра равна (км).

Задача 2. Для детского сада купили 16 больших и малых мячей, всего на Большой мяч стоил малый Сколько было куплено тех и других мячей в отдельности?

Решение проведём в таком порядке.

1) Больших мячей куплено х штук.

2) Малых мячей куплено (16 — штук.

3) Все большие мячи стоили рублей.

4) Все малые мячи стоили рублей.

5) Все большие и малые мячи вместе стоили рублей.

По условию

6) Решив уравнение, найдём: х = 4.

7) Малых мячей куплено 16•4=12 (шт.).

При решении этой задачи для каждого сорта мячей имелись три зависящие друг от друга] величины; число мячей, стоимость одного мяча и стоимость всех мячей. Эта зависимость становится более ясной, а отсюда и составление уравнения будет более лёгким, если весь ход решения записать не по отдельным пунктам, как сделано выше, а в виде таблицы.

Составим такую таблицу:

Заполним клетки этой таблицы в таком порядке:

1) записываем в третьем столбце известные цены одного

мяча; 2) записываем буквой х во втором столбце число больших или малых мячей; тогда число других мячей запишется через 16 - х; 3) заполняем четвёртый столбец, умножая цену мяча на их число.

Вся таблица заполнена. Остаётся сложить выражения в четвёртом столбце и сумму приравнять к 24,4. Получим уравнение.

Всё решение представится в виде такой записи:

По условию:

Предлагается решить эту задачу с помощью составления таблицы, обозначив через х число малых мячей.

Задача 3. На первом складе было 2300 мн дров, на втором Со второго склада взяли впятеро больше дров, чем с первого, и тогда на обоих складах дров стало поровну. Сколько дров взяли с каждого склада?

Так как в задаче сказано, что дров на обоих складах осталось поровну, то выразим с помощью х остаток дров на каждом складе и приравняем эти остатки. Решение будет иметь такой вид.

1) С первого склада взяли

Осталось на первом складе

3) Со второго склада взяли

4) Осталось на втором складе

5) По условию

6) Решаем уравнение:

7) С первого склада взято

Со второго склада взято

8) Проверка. Для составления уравнения и здесь очень удобно представить ход решения в виде таблицы:

По условию