§ 22. Возведение в степень.

В арифметике сложение равных чисел рассматривается как новое действие — умножение.

При этом число-слагаемое пишется только один раз, а за ним (после знака умножения) пишется число

множитель, которое показывает, сколько раз надо взять слагаемым первое число. Например.

В алгебре умножение равных между собой чисел рассматривается как новое действие, которое называется возведением в степень.

Если, например, число 5 умножается само на себя, то произведение называется второй степенью числа 5; произведение называется третьей степенью числа 5; число — четвёртой степенью этого числа и т. д. При этом говорят, что число 5 возводится во вторую, в третью, в четвёртую и т. д. степень.

Определение. Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень.

При

1. Произведение сомножителей, равных а, называется степенью числа а.

2. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени.

Так, в рассмотренном примере основанием степени было взято число 5; показателем степени в первом случае было число 2, во втором — число 3, а в третьем — число 4.

Степень коротко записывают так: пишут основание степени и справа от него вверху (более мелко) показатель степени:

В общем случае

Приведем примеры, поясняющие всё сказанное.

1. Примем за основание число 3 и будем возводить его в различные степени:

2. Примем за основание какое-нибудь отрицательное число, например — 2, тогда получим:

3. Приняв за основание дробное число, например получим:

4. Приняв за основание дробное отрицательное число, например получим:

Следует запомнить, что нуль в любой степени равен нулю, единица в любой степени равна 1, так как

Принято вторую степень числа называть квадратом, а третью степень — кубом этого числа.

Это объясняется тем, что площадь квадрата со стороной а выражается второй степенью числа а, то есть (квадратных единиц), а объём куба с ребром, равным а, выражается третьей степенью этого числа: (кубических единиц). Возведение числа во

вторую и третью степень короче называют возведением в квадрат и в куб.

По смыслу определения действия возведения в степень показатель степени может равняться двум, трём, четырём и т. д., то есть может быть только натуральным числом, большим единицы.

Принято считать, что первая степень любого чист есть само это число, например:

Заметим, однако, что показатель 1 обычно не пишется.

Итак, если число записано без показателя степени, то подразумевается, что этот показатель равен 1.

В арифметике показателями степени пользуются для краткой записи разложения целых чисел на множители в том случае, когда среди простых множителей данного числа имеются равные между собой. Разложив, например, на простые множители число 60 984, получим;

Кратко, пользуясь показателями степени, это число можно записать так;

Полезно запомнить запись единиц различных разрядов в виде степеней числа 10:

Из приведённых числовых примеров видно, что при возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число, а при возведении в нечётную степень получается отрицательное число.

Это и понятно. Чётная степень всякого числа есть произведение чётного числа сомножителей, а чётное число отрицательных сомножителей даёт в произведении положительное число (§ 18).

Нечётная степень отрицательного числа, как произведение

нечётного числа отрицательных сомножителей, будет отрицательным числом.

Итак, чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная степень отрицательна.