§ 56. Способ группировки.

Пример 1. Разложить на множители выражение:

Вынося общий множитель получим:

Между тем если бы выражение (1) было дано в виде

то, пытаясь применить изложенный в § 55 способ разложения, мы оказались бы в затруднении, так как все члены общего множителя не имеют. Только разбив члены на две группы

и вынеся в первой группе общий множитель с, а во второй общий множитель

получим выражение (1), в котором ясно виден общий множитель

Заметим, что в выражении (3) мы могли бы сгруппировать члены и так:

По вынесении общих множителей в каждой группе получим:

Здесь общим множителем является Вынося его, получим:

Это выражение отличается от (2) только порядком множителей.

Такой способ разложения на множители называется способом группировки. Приведём ещё примеры разложения на множители этим способом.

Пример .

Общего множителя все члены данного многочлена не имеют. Следовательно, первый способ не применим. Попробуем применить способ группировки. Если сгруппируем члены по два в том порядке, как они написаны, то получим:

Оказалось, что в обеих группах нет общих множителей, а потому и общего двучленного множителя мы не получим. Проба оказалась неудачной. Попробуем сгруппировать члены по-другому, именно: первый с третьим и второй с четвёртым:

По вынесении за скобки общих множителей получим:

Как видим, двучлены и отличаются только знаками. Чтобы сделать их одинаковыми, достаточно переменить знаки у каждого члена во второй скобке, а чтобы результат не изменился, надо переменить одновременно знак перед скобкой. Получим:

Теперь легко находим, что данное выражение равно

Если сгруппировать первый член с четвёртым, а второй с третьим, то получим:

то есть то же, что и раньше.

При некотором навыке можно избежать перемены знака во второй скобке, ставя сразу перед скобкой знак минус. Именно, заметив, что в первой группе первым членом в скобке будет с, члены второй группы располагают так, чтобы первым членом был так же член, содержащий с. Тогда порядок преобразований был бы такой:

Пример 3. Разложить на множители!

Учитывая сделанное выше замечание, сразу запишем: