§ 123. График трехчлена y = x^2+px+q

Построим график трёхчлена:

Сначала преобразуем этот трёхчлен, выделив в нём квадрат двучлена

Черт. 70.

Видим, что график функции (2) можно получить, перенеся в направлении оси ординат вверх на 3 единицы график функции (§ 121).

Но график функции является графиком функции перенесённым в направлении оси абсцисс на 4 единицы вправо (§ 122).

Отсюда следует, что график функции (2), или, что то же, функции (1), можно получить, перенеся график функции на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх (черт. 70).

Рассуждая таким же образом, построим график трёхчлена:

Представим трёхчлен в таком виде

Заключаем, что график трёхчлена (3) можно получить, перенеся график функции на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз (черт. 71).

Черт. 71.

Точно так же графиком трёхчлена

который можно представить в виде

или

является парабола перенесенная на единицы вправо и на единицы вниз.

Возьмём теперь трёхчлен:

Его можно представить в таком виде:

или

Отсюда заключаем, что график трёхчлена можно получить, перенеся график функции

в направлении оси абсцисс на — единиц и в направлении оси ординат на единиц.

Таким образом, графиком трёхчлена является парабола расположенная симметрично относительно прямой, параллельной оси ординат и отстоящей от неё на расстоянии, равном

Черт. 72.

Черт. 73.

Вершина параболы находится в точке .

Пример 1.

Здесь Значит, графиком трёхчлена является парабола перенесённая на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз (черт. 72).

Пример 2.

Вдесь График дан на чертеже 73.