§ 41. Формулы сокращённого умножения.
При выполнении различных алгебраических преобразований встречаются часто некоторые частные случаи умножения. Получающиеся при этом произведения полезно запомнить наизусть, чтобы в дальнейшем, когда эти случаи встретятся, можно было сразу написать результат, не производя каждый раз почленного умножения. Равенства, выражающие эти частные случаи умножения, называются формулами сокращённого умножения.
1. Квадрат суммы.
Возведём в квадрат сумму двух чисел а и 
Приведя подобные члены, получим:
Эту формулу следует запомнить как в приведённой записи, так и в словесном выражении.
Квадрат суммы двух чисел. равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Примеры:
Следует приобрести навык писать сразу окончательный результат, не производя промежуточной записи, которая показана в этом примере.
2. Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного больших «круглого» числа, например:
3. Особенно легко запомнить приём возведения в квадрат чисел, оканчивающихся пятёркой. Положим, число имеет а десятков и 5 единиц. Тогда его можно записать так:
Возведём это число в квадрат по формуле:
Полученное выражение показывает, что для возведения в квадрат числа, оканчивающегося пятёркой, надо число его десятков умножить на число, единицей большее, и к произведению приписать 25. Например:
Последний пример можно записать так:
Значит, чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная
часть которого равна 
достаточно целую часть умножить на число, единицей большее, и к произведению прибавить
2. Квадрат разности.
Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.
Эта формула отличается от ранее выведенной формулы только знаком среднего члена. Поэтому часто пишут сразу обе формулы так:
Примеры:
И здесь следует стараться написать сразу результат, производя промежуточные вычисления в уме.
2. Эта формула применяется при устном возведении в квадрат чисел, немного меньших «круглого» числа, например:
3. Произведение суммы двух чисел на их разность.
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.
Примеры.
3. Эта формула применяется при устном умножении двух чисел, из которых одно на столько единиц больше «круглого» числа, на сколько другое меньше его, например: 47 и 53, 68 и 72.
4. Но иногда бывает полезно поступить наоборот: для вычисления разности квадратов двух чисел заменить эту разность произведением суммы оснований на их разность, например:
4. Куб суммы.
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.
Примеры.
5. Куб разности.
Произведя умножение и приведя подобные члены, получим:
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата
первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.
Примеры.
