§ 100. Краткие исторические сведения.

Возведение в квадрат. Практические задачи (например, вычисление площади квадратного участка) уже в глубокой древности приводили к потребности находить квадраты чисел. Очевидно, эта потребность возникала настолько часто, что, так же как и в настоящее время, составлялись специальные таблицы квадратов натуральных чисел.

Особый интерес представляет таблица квадратов чисел от 1 до 60, найденная при раскопках в Вавилоне и составленная около четырёх тысяч лет назад.

Приведём выдержки из этой таблицы в современной записи:

Эта запись становится понятной, если первые цифры, стоящие до точки с запятой, считать единицами второго разряда, содержащими 60 единиц первого разряда.

Действительно, тогда мы имеем:

Таким образом, эта таблица является одним из свидетельств употребления в древнем Вавилоне шестидесятеричной системы счисления.

В более поздние времена эта система счисления перешла из Вавилона в другие страны. Она применялась главным образом в астрономических вычислениях.

Извлечение корня. К извлечению квадратного корня также ещё в древние времена приводили задачи практического характера (например, выделение квадратного участка земли заданной площади, решение задач, приводящих к квадратным уравнениям).

Так, в китайской математической рукописи, написанной во II в. до нашей эры по ещё более древним источникам, уже имеется описание способа нахождения квадратных корней.

Умели извлекать квадратные корни из чисел и индийцы ещё в

IV—V вв. нашей эры. Индийский математик XII в. Бхаскара отмечал, что положительное число имеет два квадратных корня — положительный и отрицательный и что нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Извлечение квадратного корня (например, при решении квадратных уравнений) встречается и в сочинении знаменитого среднеазиатского математика аль-Хорезми.

Интересен способ, по которому древние вавилоняне находили приближённые квадратные корни ещё за две тысячи лет до нашей эры. В современной алгебраической записи этот способ может быть выражен формулой

Пример 1. Найти 28. Так как , то получим по формуле (1):

Так как , то приближённый корень получен с достаточно большой точностью.

Пример

Проверка.

Если правую часть равенства (1) возведём в квадрат, то получим:

Таким образом, квадрат найденного приближённого корня отличается от подкоренного числа на величину Отсюда следует, что найденный по формуле (1) корень будет тем точнее, чем меньше число по сравнению с а.