§ 39. Умножение расположенных многочленов.

Покажем на примере, как производится умножение расположенных многочленов.

Из этого примера видим, что многочлены располагаются один под другим (оба многочлена расположены по убывающим степеням буквы х).

Все члены множимого умножаются на первый член множителя, и результат записывается в строку под чертой. Затем все члены множимого умножаются на второй член множителя, и результат записывается во второй строке так, чтобы подобные члены оказались друг под другом.

Так же записываются произведения всех членов множимого на третий член множителя и так далее до конца.

В результате получается столько строк, сколько членов в множителе, причём все подобные члены окажутся в одном столбце.

Эти подобные члены приводятся, и окончательный результат записывается внизу под чертой. В итоге получится тоже расположенный многочлен.

(Проверить подстановкой в данные многочлены и в произведение значений:

Приведём ещё пример:

Умножив на получили и записали это произведение. Умножив на получили Для записи этого произведения мы отступили вправо, оставив после свободное место на тот случай, если в последующих произведениях окажется член, содержащий (так оно и случилось). В дальнейшем опять подписывали подобные члены под подобными.

(Проверить подстановкой:

Рассматривая приведённые примеры умножения двух расположенных многочленов, можно сделать следующие выводы.

1. Старший член произведения равен произведению старших членов перемножаемых многочленов.

Действительно, перемножая члены с наибольшими показателями главной буквы, мы и в произведении получим член с наибольшим показателем при этой букве.

Других членов с тем же показателем мы получить в произведении не можем, так как во всех остальных произведениях хотя бы один из перемножаемых членов, будет иметь показатель меньший, чем показатель в старшем члене того же многочлена.

Рассуждая подобным же образом, найдём:

2. Низший член произведения равен произведению низших членов перемножаемых многочленов.

Таким образом, старший и низший члены произведения не могут иметь подобных членов. Следовательно, когда мы будем приводить в полученном произведении подобные члены, то старший и низший члены непременно останутся; остальные же — все или некоторые — после приведения могут сократиться. Отсюда следует:

3. Произведение двух многочленов, если оба они не одночлены, не может иметь жнее двух членов.

Пример.

После приведения подобных членов получили в произведении то есть остались только старший и низший члены. Сумма остальных тождественно равна нулю.

(Проверить подстановкой: