§ 112. Системы двух уравнений, из которых одно второй и одно первой степени.

Задача. Прямоугольный участок площадью огорожен забором длиной 130 м. Вычислить длину и ширину участка.

Решение. Пусть длина участка равна х метрам, ширина у метрам. Тогда площадь его будет равна По условию эта площадь равна 1000 мг. Получаем уравнение:

Мы получили уравнение, содержащее произведение неизвестных . Степенью одночлена, содержащего две буквы, считается сумма показателей степеней, с которыми эти буквы входят в одночлен. Так, одночлен имеет степень относительно букв х и у.

Значит, в полученном уравнении (1) член имеет вторую степень, и мы получили уравнение второй степени.

Кроме того, в задаче дана величина периметра участка. Так как периметр его равен то получаем второе уравнение:

или (разделив все члены на 2)

Это уравнение первой степени.

Итак, для решения задачи мы имеем систему уравнений, из которых одно второй и одно первой степени:

Решим её способом подстановки. Выразим из второго уравнения у через х:

Сделав подстановку в первое уравнение, получим:

Система уравнений (4) и (5) и система (3) равносильны (§ 79).

Решив уравнение (5), найдём: Отсюда подстановкой в (4) получим соответственно:

Получили два решения:

1) длина участка ширина

2) длина ширина Очевидно, что фактически получен один ответ на вопрос задачи.

Решим в общем виде систему уравнений, из которых одно второй и одно первой степени.

Пусть имеем систему:

Найдём из второго уравнения у:

Сделав подстановку в первое уравнение, получим:

Система уравнений (7) и (8) равносильна системе (6). Но уравнение (8) является уравнением с одним неизвестным и не выше второй степени. Решив его, найдём значения х; подставив их в (7), найдём соответствующие значения у.

Пример. Решить систему:

Из второго уравнения находимз

Подставив вместо у в первое уравнение получим:

Это уравнение по упрощении примет вид:

Отсюда

Подстановка в уравнение (10) даёт: