§ 38. Умножение многочленов.

Пусть требуется перемножить многочлены:

Их произведение будет:

Нам нужно алгебраическую сумму с умножить на число .

По правилу умножения суммы можем записать:

Применив распределительный закон, получим:

Наконец, раскрыв скобки, получим окончательно:

Итак, имеем:

Мы видим, что последнее выражение получилось после того, как каждый член множимого умножили на каждый член множителя

Отсюда выводим правило:

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить

на каждый член другого и полученные произведения сложить.

Число членов произведения. Предположим, что в множимом 5 членов, в множителе 3. Умножив все члены множимого на первый член множителя, получим в произведении 5 членов; умножив на второй и третий члены множителя, получим еще 2 раза по пять членов. Всего получим 15 членов.

Число членов произведения (до приведения подобных членов) равно числу членов множимого, умноженному на число членов множителя.

Правило умножения многочленов можно применить для упрощения арифметических вычислений.

Например, пусть надо перемножить два числа, у которых число десятков одинаково, а единицы в сумме дают 10, например: 43 и 47; 62 и 68; 103 и 107; 51 и 59.

Обозначим число десятков обоих чисел через а, а число единиц у одного числа — через другого — через с. Тогда числа запишутся так: .

Перемножим их по правилу умножения многочленов:

Но по условию

Сделав замену, получим:

Эта формула позволяет быстро вычислять в уме произведение двух чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна десяти; для вычисления произведения надо число десятков умножить на число, единицей большее, и к результату приписать произведение единиц, например: