§ 119. Линейная функция.

В § 75 рассматривалась линейная зависимость между двумя величинами. Она выражалась равенством

где и — определённые числа ).

При заданных и значение у зависит от значения х. Следовательно, мы можем считать х аргументом, а у — его функцией. Функция такого вида называется линейной. Так как правая часть равенства (1) — многочлен первой степени относительно х, то линейной функции можно дать такое определение.

Определение. Многочлен первой степени относительно аргумента называется линейной функцией этого аргумента.

Черт. 63.

Так как при функция примет вид , то рассмотренная в предыдущем параграфе функция является частным случаем линейной функции.

В § 75 было показано построением, что графиком линейной функции является прямая. Докажем это.

Теорема. Графиком линейной функции является прямая.

Доказательство. Построим сначала прямую

(черт. Дадим абсциссе х произвольное значение Тогда ордината точки прямой (2) будет равна:

а ордината точки графика функции (1) будет равна:

Так как абсциссу х мы взяли произвольно, то ордината любой точки графика функции равна значению сложенному с ординатой точки прямой имеющей ту же абсциссу.

Установив это, легко построим график функции Пусть (на чертеже ). Дадим х произвольное значение, например Тогда из (1) получим:

Получили одну точку графика функции Построим её и проведём через неё вторую прямую, параллельную прямой Эта вторая прямая и будет графиком функции Действительно, ордината любой точки М этой прямой равна сумме ординаты точки прямой с той же абсциссой. Значит, координаты любой точки второй прямой удовлетворяют уравнению (4).

С другой стороны, если координаты какой-либо точки удовлетворяют уравнению (4), то ордината этой точки равна ординате соответствующей точки прямой плюс Значит, рассматриваемая точка лежит на второй прямой. Эта прямая, параллельная прямой и отсекает на оси ординат отрезок, равный по величине

Если , то графиком функции будет прямая, лежащая ниже графика функции (из ординат точек прямой вычитается

Рассмотрим некоторые частные случаи функции

1) Пусть Тогда Мы знаем, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат

2) Пусть . Тогда

Из этого равенства видно, что при любом значении х ордината точки графика функции будет равна

Черт. 64.

Это значит, что все точки графика находятся на одном и том же расстоянии от оси абсцисс. При график лежит выше, а при ниже оси абсцисс. Другими словами, графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс. Эта прямая проходит через точку На чертеже 64 построены графики функций:

3) Пусть тогда при любом значении х ордината Очевидно, что этому условию удовлетворяют все точки оси абсцисс, и только они. Значит графиком функции является ось абсцисс.