§ 2. Алгебраические выражения.

Решим задачу.

Ученик купил тетрадей по 2 коп. за тетрадь и учебник за 8 коп. Сколько заплатил он за всю покупку?

Чтобы узнать стоимость всех тетрадей, надо цену одной тетради умножить на число тетрадей. Значит, стоимость тетрадей будет равна копейкам.

Стоимость же всей покупки будет равна

Заметим, что перед множителем, выраженным буквой, знак умножения принято опускать, он просто подразумевается. Поэтому предыдущую запись можно представить в таком виде:

Получили формулу решения задачи. Она показывает, что для решения задачи надо цену тетради умножить на число купленных тетрадей и к произведению прибавить стоимость учебника.

Вместо слова «формула» для подобных записей употребляют также название «алгебраическое выражение».

Алгебраическим выражением называется запись, состоящая из чисел, обозначенных цифрами или буквами и соединённых знаками действий.

Для краткости вместо «алгебраическое выражение» говорят иногда просто «выражение».

Приведём ещё примеры алгебраических выражений:

Из этих примеров видим, что алгебраическое выражение может состоять только из одной буквы, а может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами (два последних примера). В этом последнем случае выражение называется также арифметическим выражением.

Дадим в полученном нами алгебраическом выражении букве значение 5 (значит, ученик купил 5 тетрадей). Подставив вместо число 5, получим:

что равно 18 (то есть 18 коп.).

Число 18 является значением данного алгебраического выражения при

Значением алгебраического выражения называется число, которое получится, если в это выражение подставить вместо букв данные их значения и произвести над числами указанные действия.

Например, мы можем сказать: значение выражения при равно 12 (12 коп.).

Значение етого же выражения при равно 14 (14 коп.) и т. д.

Мы видим, что значение алгебраического выражения вависит от того, какие значения мы дадим входящим в него буквам. Правда, иногда бывает, что значение выражения не вависит от вначений входящих в него букв. Например, выражение равно 6 при любых значениях а.

Найдём в виде примера числовые значения выражения при различных значениях букв a и b.

Пусть

Подставим в данное выражение вместо а число 4, а вместо 6 число 2 и вычислим полученное выражение:

Итак, при значение выражения За равно 16.

Таким же образом найдём, что при значение выражения равно 29, при и оно равно 2 и т. д.

Результаты вычислений можно записать в виде таблицы, которая наглядно покажет, как изменяется значение выражения в зависимости от изменения значений входящих в него букв.

Составим таблицу из трёх строк. В первой строке будем записывать значения а, во второй — значения 6 и

в третьей — значения выражения Получим такую таблицу:

В § 1, говоря о переместительном законе сложения, мы записали, что два выражения равны:

Такая запись называется равенством.

Два алгебраических выражения, соединённые знаком «равно», образуют равенство.

Как известно из арифметики, кроме знака равенства, употребляются ещё знаки неравенства:

— этот знак означает больше,

— этот знак означает меньше.

Например:

— читается: пять больше двух;

— читается: три меньше семи.

Следует запомнить, что знак неравенства всегда обращён остриём к меньшему числу.

Два выражения, соединённые знаком «больше» или «меньше», образуют неравенство.

Пример. Измерив отрезок, получили, что его длина больше 5 см, но меньше 6 см. Результат измерения можно записать в виде двойного неравенства: