§ 104. Приведённое квадратное уравнение.
Задача. Одна сторона прямоугольника на 6 см меньше другой. Площадь его равна 40 см. Вычислить стороны прямоугольника.
Решение. Пусть большая сторона равна х см.
Тогда вторая сторона равна 
см, а площадь прямоугольника равна 
По условию
Приведём это уравнение к нормальному виду:
Получили приведённое квадратное уравнение. Чтобы решить его, выделим в левой части квадрат двучлена. Замечая, что
дополним это выражение до полного квадрата. Прибавив к этому выражению 
получим квадрат двучлена 
Поэтому прибавим 9 к левой части уравнения 
и вычтем то же число. Получим:
или
Из последнего уравнения найдём:
Отсюда получим два корня уравнения:
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Но по смыслу задачи для х допустимыми являются только положительные значения (и притом большие шести). Следовательно, задача имеет единственное решение: большая сторона прямоугольника равна 10 см, а меньшая 
см.
Решим приведённое квадратное уравнение в общем виде
Пусть дано уравнение:
Чтобы решить его, поступим так же, как и в приведённом выше примере.
Так как 
то, если прибавим и вычтем в левой части уравнения (1) одно и то же число 
получим:
Левая часть уравнения (2) неотрицательна, а относительно выражения 
представится три случая. Случай 1.
Из уравнения (2) находим:
и
Мы получили два корня:
Итак, в этом случае уравнение (1) имеет два корня. Формула (А) является общей формулой корней приведённого квадратного уравнения. Словами её можно выразить так:
Корни приведённого квадратного уравнения равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Запомнив формулу (А), мы можем найти корни приведённого квадратного уравнения, не производя преобразований (рассмотренных на стр. 227 и 228), а просто подставив в формулу (А) данные значения 
Примеры.
Здесь 
Вычислим сначала подкоренное выражение в формуле (А):
Уравнение имеет два решения.
Подставив в формулу (А) значения 
получим:
Отсюда имеем: 
.
Подстановкой убедимся, что корни найдены верно.
Здесь 
Подставив в формулу (А) значения ряд, получим:
Корни уравнения можно найти приближённо. Положив, например,
Проверим, например, корень
Мы получили результат, близкий к нулю. Если взять корень с большей точностью, то при проверке получим результат, более близкий к нулю.
Случай 2.
Тогда уравнение (2) примет вид:
Отсюда
Итак, в этом случае уравнение имеет один корень. Пример.
Левая часть является квадратом двучлена. Имеем:
Случай 3.
Возьмём уравнение (2):
Правая часть этого уравнения — отрицательное число. Левая же часть ни при каком значении х отрицательной быть не может. Следовательно, в этом случае уравнение (1) не имеет корней.
Пример.
Здесь 
, и уравнение не имеет корней.
Действительно, представив уравнение в виде
замечаем, что левая часть ни при каком значении х не может стать отрицательной. Следовательно, уравнение не имеет корней.
