§ 34. Противоположные многочлены.

Мы знаем, что два противоположных числа имеют одну и ту же абсолютную величину и противоположные знаки.

Мы знаем также, что сумма двух противоположных чисел равна нулю [например, ) и, обратно, если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа противоположные.

Рассмотрим два таких многочлена, которые состоят из членов, одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по знаку.

Возьмём, например, многочлены:

Сложив эти многочлены

получим сумму, тождественно равную нулю, то есть равную нулю при всех значениях букв а и х.

Два многочлена, состоящие из членов, одинаковых по абсолютной величине, но противоположных по знаку, называются противоположными.

Сумма двух противоположных многочленов тождественно равна нулю, так как равна нулю сумма каждых его двух противоположных членов.

Из сказанного вытекает, что значения двух противоположных многочленов противоположны (конечно, при одинаковых значениях букв).

Итак, какие бы числовые значения (одинаковые для обоих многочленов) мы ни давали входящим в них буквам, получим два взаимно противоположных числа. В самом деле, так как сумма значений двух противоположных многочленов равна нулю, то эти значения являются противоположными числами.

Примечание. Сказанное относится и к одночлену, как к многочлену, имеющему только один член.