§ 35. Вычитание одночленов и многочленов
1. Вычитание одночленов.
Пусть из одночлена требуется вычесть одночлен . Запишем:
Одночлены являются противоположными, то есть имеют противоположные числовые значения при любых значениях а и . Но мы знаем, что вычитание любого числа можно заменить прибавлением числа, противоположного вычитаемому.
Значит,
По правилу сложения одночленов получим:
Итак, имеем:
Проверим правильность нашего вывода, сложив разность с вычитаемым:
Мы, получили уменьшаемое. Значит, вычитание произведено верно.
Отсюда выводим такое правило:
Чтобы вычесть одночлен, достаточно припасать его с противоположным знаком к уменьшаемому.
Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.
2. Вычитание многочленов.
Пусть требуется из многочлена вычесть многочлен Надо найти такой третий многочлен — разность, который в сумме с вычитаемым даст многочлен, тождественно равный уменьшаемому Если из значения уменьшаемого вычесть значение вычитаемого, то должно получиться значение разности. Но мы знаем: чтобы вычесть какое-либо число, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Прибавим к многочлену многочлен противоположный вычитаемому, тогда получим:
Убедимся, что вычитание выполнено правильно; для этого сложим полученный многочлен с многочленом вычитаемым:
Получили уменьшаемое. Отсюда выведем правило:
Чтобы вычесть многочлен, достаточно припасать к уменьшаемому все члены вычитаемого с противоположными знаками.
Если в полученном выражении окажутся подобные члены, их надо привести.
3. Раскрытие скобок.
Из сказанного в § 34 о противоположных многочленах можно вывести следствие:
Чтобы раскрыть скобка, перед которыми стоит знак минус, надо записать с противоположными знаками (без скобок) все члены, стоящие в скобках:
4. Заключение в скобки.
Иногда бывает нужно заключить многочлен или его часть в скобки, поставив перед скобкой знак минус. Будем руководствоваться следующим правилом:
Чтобы заключить многочлен в скобки со знаком минус перед ними, надо записать в скобках все члены многочлена, взяв их с противоположными знаками:
Убедиться в правильности этого равенства легко, раскрыв в правой части скобки по правилу, изложенному в
Пример. Вычислить выражение:
Заключим второй и третий члены в скобки, поставив перед ними знак минус. Согласно правилу получим:
Начиная с вычитания в скобках, легко произведём в уме все вычисления.
5. Вычитание расположенных многочленов.
Вычитание расположенных многочленов выполняется так: у вычитаемого многочлена меняют знаки всех членов на противоположные, подписывают его под уменьшаемым так же, как и при сложении, и делают приведение подобных членов.
Пример.
Располагаем действие так: