§ 110. Исследование корней квадратного уравнения.

Пусть дано или составлено при решении задачи квадратное уравнение. Часто бывает полезно для решения этого уравнения получить некоторые сведения о его корнях, или, как говорят, исследовать корни уравнения.

1. Исследование корней квадратного уравнения по дискриминанту.

Прежде всего нужно установить, стоит ли решать данное уравнение, то есть имеет ли оно корни. Из § 106 известно, что ответ на этот вопрос зависит от дискриминанта а именно:

Если , то уравнение имеет два различных корня.

Если , то уравнение имеет два равных корня.

Если , то уравнение не имеет корней.

Примеры всех трёх случаев приводились в предыдущих параграфах.

2. Исследование корней приведённого квадратного уравнения по его коэффициентам.

Пусть дано уравнение:

Тогда, рассматривая коэффициенты этого уравнения, можно получить ещё некоторые сведения относительно его корней, не решая самого уравнения.

Рассмотрим различные случаи.

1) Пусть Тогда прежде всего заключаем, что уравнение имеет корни. В самом деле, в этом случав всегда

Итак, мы пришли к важному выводу: если в приведенном квадратном уравнении свободный член отрицателен, то уравнение имеет корни.

Далее, по теореме Виета имеем:

Из условия заключаем, что произведение корней отрицательно, а это означает, что корни имеют противоположные знаки: один из них положителен, другой отрицателен.

Пример 1.

значит, уравнение имеет корни, и они имеют противоположные знаки.

Решив уравнение, найдём его корни:

2) Пусть Тогда из (2) заключаем, что если уравнение имеет корни, то есть если , то произведение их положительно, а это означает, что корни имеют одинаковые знаки.

Поставим вопрос: какие именно? Ответ получим из соотношения (1).

а) Пусть Тогда сумма отрицательна, и, значит, оба, корня отрицательны.

б) Пусть Тогда сумма положительна, и, значит, оба корня положительны.

Пример 2.

Уравнение имеет корни, и они имеют одинаковые знаки, так как

Сумма корней равна 10. Значит, оба они положительны. Решив уравнение, найдём:

Возьмём 1,73, тогда

3. Исследование корней уравнения общего вида. Перейдём к уравнению вида

Разделив обе части этого уравнения на а, получим равносильное ему уравнение, но уже приведённое:

Здесь

Но так как по условию то знаки чисел совпадают соответственно со знаками b и с.

А отсюда следует, что все выводы, которые были сделаны выше для приведённого уравнения, остаются в силе и для уравнения общего вида. Во всех выводах нужно только буквы и заменить буквами и с.

Пример 3.

Так как , то уравнение имеет два различных корня; , а поэтому корни имеют одинаковые знаки; значит, оба корня отрицательны.