§ 91. Понятие об извлечении корня. Решим две задачи.

Задача 1. Сторона квадратного участка земли равна Определить его площадь.

Площадь участка равна квадрату его стороны. Значит,

Задача 2. Площадь квадратного участка равна Вычислить его сторону.

Эта задача является обратной по отношению к первой. В первой задаче была известна длина стороны квадрата и требовалось найти его площадь; здесь, наоборот, известна площадь квадрата, требуется найти длину его стороны.

Обозначим неизвестную длину стороны квадрата через х метров. Тогда площадь квадрата будет равна х мг. Но по условию эта площадь равна 81 мг. Получаем уравнение:

Значит, чтобы решить задачу 2, надо найти число, квадрат которого был бы равен 81. Из таблицы квадратов найдём, что таким числом является 9. Действительно,

Число 9 называется корнем второй степени или, короче, квадратным корнем из 81. Точно так же 7 является квадратным корнем из 49, так как число — квадратный корень из так как

Определения. 1. Квадратным корнем из числа а называется число, квадрат которого равен а.

2. Действие, посредством которого отыскивается квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение корня (квадратного) является действием, обратным возведению в квадрат: при возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат; при извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется найти само число.

Поэтому правильность извлечения квадратного корня можно проверить, возведя найденный корень в квадрат; если получится данное число, значит, корень найден верно.

Рассмотрим уравнение

при различных значениях а.

1) Пусть

В этом случае уравнение (1) не имеет решений. Действительно, какое бы значение х мы ни взяли, квадрат его будет всегда неотрицательным числом (т. е. положительным числом или нулём) и, следовательно, не может равняться отрицательному числу а.

2) Пусть

Очевидно, что в этом случае уравнение (1) имеет единственное решение

Действительно, если же , то и .

3) Пусть

В этом случае, как мы уже видели на примере уравнения уравнение может иметь решение.

Из всего сказанного можно сделать вывод:

Для того чтобы из числа можно было извлечь квадратный корень, необходимо, чтобы оно было неотрицательным числом, то есть положительным числом или нулём.