§ 64. Приведение дробей к общему знаменателю.

Основное свойство дроби даёт возможность алгебраические дроби с различными знаменателями преобразовать в тождественные им дроби с одинаковыми знаменателями (говорят: привести дроби к общему знаменателю).

Такое преобразование приходится производить, как и в арифметике, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Из рассмотрения нескольких примеров выведем общее правило приведения дробей к общему знаменателю.

1. Дроби с одночленными знаменателями.

Приведём к общему знаменателю дроби:

Общий знаменатель должен делиться на каждый из данных знаменателей. Составим его в таком порядке.

1) Коэффициент общего знаменателя должен делиться на 4, на и на 9. Наименьшим таким числом будет 36.

2) Общий знаменатель должен делиться на а, на и на Значит, он должен содержать множитель

3) Точно так же найдём, что буква должна войти в знаменатель в пятой степени, а буква с — во второй степени.

В итоге получим общий простейший знаменатель

Чтобы получить в первой дроби знаменатель надо её числитель и знаменатель умножить на Получим:

Таким же образом найдём:

За общий знаменатель можно было бы взять, например, одночлен так как он делится на каждый из знаменателей данных дробей. Однако этот одночлен имеет больший коэффициент и содержит буквы в более высоких степенях, чем одночлен

Одночлен для данных дробей является простейшим общим знаменателем.

Отсюда следует, что простейший общий знаменатель дробей с одночленными знаменателями есть наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, умноженное на все различные буквы, входящие в знаменатели, причём каждая буква берётся с наибольшим показателем, с каким она входит в знаменатели.

Примечание. Алгебраическую дробь с дробными коэффициентами числителя и знаменателя всегда можно заменить дробью,

у которой числитель и знаменатель имеют целые коэффициенты. Так, например, дробь —5- можно заменить дробью

2. Дроби с многочленными знаменателями.

Приведем к общему знаменателю дроби:

Разложим на множители знаменатели:

Составим общий знаменатель так же, как и в случае одночленных знаменателей.

Коэффициентом общего знаменателя будет наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 10, то есть 20.

Множитель возьмём в наибольшей степени, в которой он входит в знаменатели, то есть во второй. Множитель также возьмём во второй степени.

Простейший общий знаменатель будет:

Дроби примут следующий вид:

(Проверить при )

Отсюда такое правило:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю алгебраические дроби а многочленными знаменателями, надо знаменатели разложить на множители. Простейшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, умноженное на все различные множители, входящие в знаменатели, причём

каждый множитель берётся с наибольшим показателем, с каким он входит в знаменатели.

Примечание. Если какой-нибудь из знаменателей не разлагается на множители, то он берётся весь целиком как множитель.