§ 83. Уравнение с тремя неизвестными.

1. Одно уравнение с тремя неизвестными.

Рассмотрим, например, такое уравнение с тремя неизвестными:

Можно показать, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Действительно, взяв для х и у какие-либо произвольные числа, например и подставив эти значения в уравнение, получим:

или

Откуда найдем:

Дав другие произвольные значения получим другое значение для

Итак, одно уравнение с тремя неизвестными имеет (в общем случае) бесконечное множество решений.

2. Система двух уравнений с тремя неизвестными.

Теперь рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвестными.

Присоединим к уравнению (1), например, следующее уравнение:

Итак, имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными. Покажем, что и эта система имеет бесконечное множество решений. Убедимся подстановкой, что системе удовлетворяют, например, следующие тройки чисел:

Дадим теперь одному из неизвестных, хотя бы х, какое-либо произвольное значение, например Подставив это значение в уравнения (1) и (2), получим:

Решив эту систему, найдем:

Итак, система имеет еще решение:

Взяв для х другое значение, получим новую систему с двумя неизвестными, из которой найдём у и .

Значит, вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными тоже имеет бесконечное множество решений.

Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например:

Какие бы значения ни имели выражение не может одновременно быть равно 5 и 7.