§ 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений.
Как известно из арифметики, при делении целых чисел не всегда можно получить целое частное. В этом случае говорят, что делимое не делится нацело на делитель. Например, 17 не делится нацело на 5.
В таких случаях записывают частное в виде дробного числа, беря делимое числителем, а делитель — знаменателем. Например:
Введение дробных чисел сделало возможным деление любых чисел (кроме деления на нуль).
Так же обстоит дело и при делении целых алгебраических выражений. Частное не всегда является целым алгебраическим выражением.
Если частное от деления целых алгебраических выражений является целым алгебраическим выражением, то говорят, что деление выполнено нацело или что делимое нацело разделилось на делитель.
Поясним сказанное примерами.
Пример 
В этом случае деление выполняется нацело: частное равно целому выражению 2а. Действительно, умножим частное на делитель:
Получили делимое. Значит, выражение 
нацело разделилось на 
Пример 2. Трёхчлен 
делится на двучлен 
при этом частное равно 
. Это можно проверить, умножив делитель 
на 
Мы получили делимое, значит, двучлен 
действительно является искомым частным.
Пример 
В этом случае мы не сможем найти такое целое выражение, которое, будучи умножено на 6, дало бы делимое 
Деление нацело здесь невозможно.
Действительно, какое бы целое выражение, содержащее буквы 
, мы ни взяли, умножив его на делитель 
получим многочлен, все члены которого содержат букву 
однако второй член делимого равен с, этот член не содержит букву 
В этом случае записывают частное в виде дробного выражения, беря делимое числителем, а делитель — знаменателем, например:
Сделаем ещё одно замечание. При всяком делении алгебраических выражений мы будем предполагать, что делитель не равен нулю, так как делить на нуль нельзя. Поэтому если делитель содержит одну или несколько букв, то для них допустимыми являются только такие значения, которые не обращают делитель в нуль. Это условие надо всегда иметь в виду при делении алгебраических выражений.
Если знаменатель данного выражения равен нулю при всех значениях входящих в него букв, то такое выражение не имеет смысла. Так, например, выражение не имеет смысла.
