§ 116. Аргумент и функция.
Вернёмся снова к покупке тетрадей, о которой говорилось в § 115. Мы видели, что в этом процессе участвуют две переменные величины: число купленных тетрадей и их стоимость. Но легко видеть, что эти две величины играют в процессе покупки неодинаковую роль.
Количество тетрадей устанавливает сам ученик; эта величина может принимать произвольные значения: 3;
5; 8 и т. д. (Конечно, эти значения должны быть допустимыми; нельзя купить
или — 3 тетради.)
Значение же другой переменной величины — стоимости покупки — будет уже зависеть от значения первой — от числа купленных тетрадей.
Точно так же, если мы будем произвольно изменять длину стороны квадрата, то уже в зависимости от этого будет изменяться и его площадь.
Определение 1. Если две переменные находятся в функциональной зависимости, то та из них, которая может принимать произвольные (допустимые) значения, называется независимой переменной или аргументом.
Другая переменная, значения которой зависят от значений аргумента, называется зависимой переменной или функцией этого аргумента.
Значит, сумма денег, уплаченная за тетради, является функцией их количества.
Площадь квадрата — функция длины его стороны.
В § 111, рассматривая трёхчлен 
мы назвали букву х аргументом. Теперь это название понятно. Как было указано, мы давали букве х произвольные числовые значения, 
значение трёхчлена зависело от этих значений х. Если задать вопрос, какие же именно произвольные значения может принимать аргумент, то ответ будет различен в зависимости, от особенностей рассматриваемого процесса.
Так, длина стороны квадрата может принимать любые положительные значения. Количество купленных тетрадей может выражаться только натуральным числом.
Определение 2. Множество всех (допустимых) значений аргумента называется областью определения функции.
Говорят также, что функция определена на данном множестве значений аргумента.
Таким образом, площадь квадрата — функция, которая определена на множестве положительных чисел. Стоимость купленных тетрадей — функция, которая определена на множестве натуральных чисел.
Во многих случаях (однако не всегда), если существует функциональная зависимость между двумя переменными, то каждая из них по тем или иным мотивам может быть принята за аргумент, а другая будет функцией этого аргумента.
Рассмотрим снова пример с покупкой тетрадей.
Пусть у одного ученика было 4 коп., а у другого 8 коп., у третьего 10 коп. и т. д. Поставим вопрос: сколько каждый из них может купить тетрадей, если одна тетрадь стоит 2 коп.? Очевидно, ответ на этот вопрос зависит от величины суммы, имеющейся у ученика. Здесь количество купленных тетрадей является уже функцией суммы денег, что можно изобразить таблицей:
Точно так же двояко можно рассматривать зависимость между длиной стороны квадрата и его площадью.
В приведённом выше примере длина стороны являлась аргументом, а площадь — его функцией.
Пусть требуется отмерить квадратные участки земли различной площади. Тогда длина стороны квадрата зависит от заданной площади. Площадь будет аргументом, а длина стороны — её функцией.
