§ 81. Графическое решение системы двух уравнений.

Пусть дана система уравнений:

Построим график каждого из этих уравнений. Графиком первого уравнения будет прямая (черт. 32), про ходящая через, точки ; графиком второго — прямая проходящая через точки

Координаты точек прямой дают множество всех решений первого уравнения, а координаты точек прямой дают множество всех решений второго уравнения. Значит, если эти уравнения имеют общее решение, то соответствующая этому решению точка должна лежать и на прямой и на прямой то есть прямые и должны иметь общую точку. Из чертежа видим, что такой общей точкой является точка М, координаты которой и образуют решение системы. Действительно, подстановка значений в уравнения системы даёт верные равенства:

Черт. 32.

Итак, графический способ решения заключается в следующем:

1. Строим график каждого из данных уравнений.

2. Находим координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются).

Эти координаты и образуют решение системы.

Число решений системы. Графический способ решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными позволяет легко установить число решений системы.

Две прямые могут пересекаться, могут совпадать и могут быть параллельными.

Рассмотрим эти три случая.

1. Прямые пересекаются. В этом случае они имеют одну общую точку. (Как известно, более одной общей точки две несовпадающие прямые иметь не могут.) Координаты этой общей точки и дают единственное решение системы. Примером является только что рассмотренная система:

2. Прямые совпадают. В этом случае координаты каждой точки общего графика данных уравнений дают решение системы, и, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Пример.

Графиком обоих уравнений является одна и та же прямая, проходящая через точки

Координаты любой точки этой прямой являются решением системы. Это и понятно. Если разделить обе части второго уравнения на 2, то получим равносильное ему уравнение:

Но это будет как раз первое из данных уравнений. Уравнения, образующие данную систему, равносильны. Всякое решение одного из этих уравнений есть решение

другого. Значит, можно рассматривать лишь одно из данных уравнений, а другое (ему равносильное) отбросить. Итак, фактически мы имеем здесь одно уравнение с двумя неизвестными. А такое уравнение, как мы знаем, имеет бесконечное множество решений.

3. Прямые параллельны. В этом случае прямые не имеют ни одной общей точки. Значит, и система уравнений, графиками которых являются эти прямые, не имеет решений.

Пример.

Графиком первого уравнения будет прямая (черт. 33), проходящая через точки

Черт. 33.

Графиком второго уравнения будет прямая проходящая через точки

Как видим, эти прямые параллельны. Система не имеет решений.

В этом можно убедиться и следующим образом. Разделим обе части второго уравнения на 2. Получим систему, равносильную данной:

Любая пара значений х и у, удовлетворяющая первому уравнению, должна дать для выражения значение 6 и не может, следовательно, равняться —4, как это следует из второго уравнения.

Итак, мы показали:

1. Если прямые — графики данных уравнений — пересекаются, то система имеет единственное решение.

2. Если прямые совпадают, то система имеет бесконечное множество решений.

3. Если прямые параллельны, то система не имеет решений.

Заметим, что будут верны и обратные положения:

1. Если система имеет единственное решение, то прямые (график данных уравнений) пересекаются.

2. Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.

3. Если система не имеет решений, то прямые параллельны.

Все эти положения легко доказываются методом от противного.