ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ

Эту книгу можно читать, не имея никакой подготовки по дифференциальным уравнениям. Но полезно к ней обратиться и после общего курса, который изучается на механикоматематических и физических факультетах. Вообще, как надеется автор, она может представить интерес для широких кругов высококвалифицированных физиков, механиков и инженеров или как справочная книга по многим вопросам, близко лежащим к общему курсу дифференциальных уравнений. Думается, даже при чтении элементарных глав (I—VI) некоторые читатели остановятся во многих местах для размышлений (может быть, и не коротких), например при чтении § 16 главы I о поведении интегральных кривых в окрестности границы области единственности. Их могут заинтересовать вопросы, относящиеся к теоремам существования решений и их построений в нелокальной области (глава III). По-видимому, содержание глав VII и VIII будет новым (другое дело, интересным или нет), так как в главе VII линейные уравнения в частных производных первого порядка излагаются полнее обычного (что, как легко видеть, связано с качественной теорией в окрестности границы области единственности), а в главе VIII предложен новый метод исследования. Характерной является и глава IX, в которой, пожалуй, впервые в каком-то смысле в законченном виде рассматривается вопрос о поведении решений и их построении в окрестности особой точки уравнения.

Глава X, посвященная представлению в разных формах решений полного уравнения через решения укороченных, по-видимому, будет новой для всех читателей.

Автор надеется, что и главы XI, XII будут способствовать знакомству широких кругов читателей с некоторыми известными, но важными направлениями теории дифференциальных уравнений.

XIII глава является новой в литературе и по постановке задач и по методам исследования, так как теория подвижных особых точек в вещественной области оказалась наполненной другим содержанием по сравнению с этой теорией в аналитической теории дифференциальных уравнений. Новой является и XIV глава.

Перейдем к рассмотрению содержания глав и параграфов книги. В главе I «Элементарные методы» вводится основная терминология (§ 1, 2), область определения решений и особые решения уравнения с разделяющимися переменными (§ 3), качественная картина расположения интегральных кривых однородного уравнения (§ 4), приводятся уравнения, допускающие простое преобразование к однородному уравнению (§ 5), подробно изучается поведение решений линейного уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли (§ 6). Затем изучается уравнение Риккати и некоторые уравнения общего вида, интегрируемые в конечной форме (§ 7), уравнения в полных дифференциалах и интегрирующий множитель (§ 8 и 9), дается строгое определение общего решения и особого (§ 10 и 11), рассматривается интеграл уравнения первого порядка и его свойства (§ 12), уравнения, не разрешенные относительно у, и примеры, характеризующие соотношения между двумя определениями особого решения (§ 13—15), поведение решений в окрестности границы области, в которой обеспечено существование и единственность решений (§ 16).

В главе II анализируются системы уравнений и уравнение порядка с одной неизвестной функцией. Показано, как приводится система уравнений к одному уравнению и одно уравнение порядка к системе уравнений первого порядка.

Глава III посвящена разного рода теоремам существования. Здесь доказывается теорема Коши, т. е. изучаются системы с голоморфной правой частью (§ 1, 2), теорема Пикара (§ 4). В замечании 4.1 указывается случай, когда будет область существования решения и сходимость рядов Пикара большей, чем основная. В лемме 4.1 доказывается, что точка Движения не может попасть в точку равновесия в конечный промежуток времени.

Рассматриваются частные случаи теоремы Пикара, общий вопрос об области существования решения. В теореме 6.1 доказано, что если решение непродолжимо за точку то при точка решения попадает в как угодно малую окрестность границы области, в которой выполнены условия теоремы Пикара, и там остается. Затем приводится теорема Пеано, замечание Лаврентьева и обсуждается вопрос о продолжении решения в случае лишь непрерывных правых частей дифференциальных уравнений. Ставится задача о построении решений задачи Коши для таких дифференциальных уравнений и о характеристике всего множества решений. Приводятся случаи, когда решение существует в области Рассматриваются задачи непрерывной зависимости решений от параметров, входящих в правые части дифференциальных уравнений, и дифференцируемости по этим параметрам (§ 7, 8).

Указываются условия, при которых решение уравнений, содержащих параметр, будет существовать в такой же области, как и при частном значении параметра. Доказаны и другие теоремы о зависимости решений от параметров, входящих в правую часть дифференциальных уравнений. Теорема Пуанкаре — Ляпунова доставляет решение и в некоторой большой области и является объединением некоторых теорем Пуанкаре и Ляпунова.

Построение решений во всей области существования для нелинейных дифференциальных уравнений общего вида дается в § 10. Доказывается существование общего решения для уравнений разных классов как в малой области, так и в большой (§ 11). В § 12 вводится понятие об устойчивости по Ляпунову решений и строятся общее решение в бесконечной области для некоторой системы дифференциальных уравнений по первому методу Ляпунова, приводится анализ существования и отсутствия общих решений для некоторых систем. В § 13 доказано существование полных дифференцируемых интегралов.

В главе IV «Линейное уравнение порядка» излагается общая теория линейного уравнения порядка (§ 1), изучается все множество решений однородного уравнения порядка с постоянными коэффициентами (§ 2), неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и различными свободными членами (§ 3). Рассматривается вопрос о существовании ограниченных и периодических решений.

Системам линейных уравнений посвящена глава V. Дается общая теория однородных и неоднородных систем (§ 1, 2), построена общая теория систем с постоянными коэффициентами и изучено все множество решений векторно-матричным и матричным способами (§ 3—6). Доказано, что линейная однородная система с постоянными вещественными коэффициентами линейным вещественным преобразованием переводится в каноническую вещественную систему с постоянными коэффициентами, причем матрица преобразования ограничена вместе с (§ 7).

В главе VI рассматривается вопрос об устойчивости нулевого решения для некоторых систем, линейных и нелинейных (§ 1—4), структура фундаментальной системы решений линейных однородных уравнений с периодическими коэффициентами, доказаны три основные теоремы Ляпунова второго метода (§ 5).

Задачи теории однородного уравнения первого порядка в частных производных формулируются и решаются в главе VII (§ 1—3), затем дается общая теория неоднородного уравнения (§ 4), рассматриваются частная задача (§ 5) и общая задача Коши (§ 6).

В главе VIII «Метод преобразований и метод особых решений» дается общая теория метода (§ 1), указаны методы интегрирования уравнения (1.1) в замкнутой форме (§ 2). Здесь же указан метод изучения качественной картины и приближенного построения интегральных кривых в окрестности особой точки и в общем случае для уравнения где показывается, как изучение интегральных кривых в окрестности точки приводит к решению задачи Коши уравнения, для которого выполнены условия теоремы Коши или Пикара. Формулируется метод последовательных преобразований и выделения класса уравнений, для которого этот метод позволяет изучить решения с какой-нибудь точки зрения (§ 3), указывается эвристический метод преобразований, позволяющий во многих случаях легко найти функцию преобразования для уравнения (§ 4), с помощью которой получим одно из интегрируемых уравнений.

Если выбрана функция преобразования то не всегда просто можно убедиться в том, что мы получим ту или другую форму преобразованного уравнения. Здесь дается метод обнаружения такого простейшего типа преобразованного уравнения (§ 5), излагается метод преобразования для систем (§ 6). Уравнение

рассматривается в главе IX. Во введении перечислены типы особых начальных точек в окрестности которых не выполнены условия теоремы Пикара или Коши. Рассматривается качественная картина расположения интегральных кривых и построение решений в окрестности точки Показывается, что во многих случаях это уравнение приводится к уравнению Врио и Буке, которое подробно изучается с разных точек зрения: качественной теории, теории построения решений, общего решения, асимптотики и устойчивости (§ 2).

В главе X рассматривается полное уравнение и соответствующее ему укороченное Строится теория представления сходящегося или

асимптотического. Рассматривается и представление Эта глава целиком написана на основе работы А. Еругина.

Разнотемные замечания делаются в главе XI. Рассматриваются интегралы системы (1.1), не зависящие от дается метод нахождения таких интегралов, строится система дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую (§ 3). Доказываются общие теоремы о периодических решениях (§ 4), рассматриваются вопросы качественной картины расположения интегральных кривых, устойчивости, замкнутых и периодических решений гамильтоновых систем двух уравнений (§ 5), устойчивости и периодичности решений варьированной относительно уравнений (5.22) гамильтоновой системы, задачи Пуанкаре о периодических решениях для систем с малым параметром (§ 6, 7). Излагается метод неподвижных точек доказательства существования решений, обладающих теми или другими свойствами (§ 8). Здесь же возникает метод функций, аналогичный методу функций Ляпунова. Излагается принцип кольца, позволяющий доказать существование периодических решений (§ 9), строятся решения в окрестности предельного цикла (§ 10), общее решение уравнения Риккати во всей области существования (§ 11).

В главе XII «Дифференциальные уравнения с малым параметром» формулируются разные задачи для уравнений, содержащих малый параметр, в том числе для уравнений, содержащих так называемое медленное время и малый параметр при старшей производной (§ 1); § 2 — вспомогательный относительно разных перестроений сходящихся рядов. Излагается метод построения решений уравнений, содержащих медленное время (к которым формально сводятся и уравнения с малым параметром при старшей производной) (§ 3). Предложенный в § 3 метод применяется для построения решений нелинейной системы, содержащей малый параметр при старшей производной. В § 5 метод § 3 применяется для частного вида дифференциального уравнения второго порядка. В § 6 рассматриваются системы с малым параметром при старшей производной. Здесь излагаются основные факты, полученные А. Н. Тихоновым и лежащие в основе всей теории уравнений с малым параметром при старшей производной.

В XIII главе рассматривается поведение решений в окрестности различных особых точек и главным образом строится теория подвижных особых точек в вещественной области. Указывается на большое значение исследований Пейовича.

В XIV, новой главе рассматриваются вопросы качественной теории некоторых систем двух уравнений и фрагменты

из элементарной конструктивной теории периодических решений некоторых систем двух уравнений. Здесь рассматриваются методы Ляпунова и Каменкова, а также некоторый синтез методов Ляпунова и Пуанкаре. Есть и новые элементы в конструктивной теории периодических решений, основанные на точном использовании методов Пуанкаре — Ляпунова.

В нашей книге не затронуты многие даже основные направления теории дифференциальных уравнений. Мы не коснулись, например, очень важного раздела граничных задач. Это направление хорошо представлено в книгах Дж. Сансоне [86], Э. А. Коддингтона и Н. Левинсона [43] и Ф. Трикоми [XXVI]. В нашей книге нет элементов аналитической теории дифференциальных уравнений, т. е. теории дифференциальных уравнений в комплексной области. Этот раздел требует хорошего знания теории функций комплексного переменного. Аналитическая теория дифференциальных уравнений изложена в только что упомянутых трех книгах.

Многие методы решения, задачи и теоремы в книге публикуются впервые.

Н. А. Изобов и Л. В. Тригубович внимательно прочитали рукопись и заметили в тексте немало оплошностей, которые я исправил. Много опечаток и неточностей заметил внимательный читатель И. Земан. Выражаю им глубокую благодарность за этот нелегкий труд. Существенные поправки по XIII главе сделал А. Еругин. В третьем издании Т. К. Шемякина тщательно проверила все дополнения и новую XIV главу, за что и выношу ей мою глубокую благодарность.

Н. Еругин