§ 8. Неоднородные линейные системы с постоянными коэффициентами

Неоднородную систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно теперь записать так:

где — вектор, Р — постоянная вещественная матрица и — вектор. Согласно теореме 7.1, существует вещественная матрица , ограниченная вместе с такая, что система (6.1) преобразуется в систему (7.12), где вектор и определяется равенством

— элементы матрицы . Так как матрица ограниченная, т. е. ограничены то если и у ограничен, если и ограничен. Причем здесь матрица входящая в уравнения (7.12), является вещественной частью жордановой матрицы (см. (7.3)).

С помощью (8.2) преобразуем систему (8.1), т. е. заменим в согласно (8.2). Получим

откуда

Если то получим (7.12), т. e. . Или это следует из (7.23). Следовательно, имеем

где вектор

Пусть

Тогда

где, как мы видели,

с вещественными постоянными . Отсюда получаем:

1. Если ограниченные, то такими же будут и

2. Если при то такими же будут

3. Легко видеть, когда будут периодическими.

является вещественной канонической жордановой матрицей

Так же, как в § 5, в соответствии со структурой представим вектор и в виде где — вектор:

Представим в таком виде и вектор

Тогда система (8.3) запишется так:

А эта система разбивается на систем

Каждая из этих систем в общем виде записывается так:

Запишем эту систему в развернутом виде (как и (5.17)):

Заменим здесь

Для получим уравнения

Отсюда получим

На основании этих формул мы имеем возможность полностью изучить поведение решений системы (8.3), а тем самым и (8.1) при Здесь надо принять во внимание и те рассуждения, которые мы провели относительно функций вида

в первой главе.