§ 3. Периодические решения вокруг центра (Пуанкаре)

Пусть теперь система имеет вид

где — полиномы или ряды без свободных и линейных членов и точка (0, 0) есть центр. Таким образом, вокруг точки (0, 0) расположены замкнутые интегральные кривые, которым соответствуют периодические решения. Построим эти решения методом Пуанкаре, отличным от метода Ляпунова. Теперь равенства (1.2) и (1.3) имеют вид

где — однородные многочлены от 2-й степени. Далее имеем

откуда вместо (1.5) получаем

где полином от который при совпа дает с из равенства (1.5). Но здесь можно представить и так:

или

где — полиномы от Здесь ряды сходятся при достаточно малых Так как предположено, что точка (0, 0) для системы (3.1) — центр, то уравнение (3.5) имеет решение вида (1.6):

и этот ряд сходится при и при всех значениях ибо при всех значениях точка (0, 0) есть центр для уравнений (3.1). Но значение зависит от е. При переходит в Здесь — полиномы от поэтому — периодическая функция с периодом Решение (3.8) можно построить иначе. При уравнение (3.5) переходит в

которое имеет решение — произвольное постоянное. Это решение, следовательно, определено на всем промежутке Согласно теореме Пуанкаре — Ляпунова, уравнение (3.5) имеет решение

в виде

и этот ряд в любом промежутке при достаточна малом сходится К Будет ли это решение периодическим и

будут ли периодическими При таких значениях данных сходящимся рядом (3.10), и, следовательно, при соответствующих значениях при которых ряд справа в уравнении (3.5) сходится, функция (3.10) будет периодической, так как все решения уравнений (3.1) в этой области будут периодическими, ибо расположены в области центра (правда, всей области центра мы не знаем).

Отметим теперь, что представление (3.10) резко отличается от представления (3.8), так как (3.8) доставляет периодические решения в окрестности точки малое), а (3.10) — любое решение из области центра но при достаточно малом Но для представления (3.8) нет нужды считать малым — достаточно сходимости ряда (3.5). Функция из (3.10) периодическая и по смыслу значений (радиус-вектор) и (полярный угол) с периодом

Следовательно, из (3.10) имеем

Так как это — тождество при всех и выражение в квадратных скобках не зависит от то — периодические с периодом Впрочем, как видно из (3.8) и из способа получения (3.10) ((3.10) подставляем в (3.5) и, сравнивая кэоффициенты при степенях справа и слева, находим будут полиномами от

Как же можно получить период решения относительно переменной и как получить

Подставим из (3.10) в (3.3). Получим

где

Из (3.11) имеем

или

Здесь ряд сходится при Отсюда

и, как прежде,

или

Из (3.15) имеем

Эту функцию можно представить и в виде

Начиная с (3.11), здесь всюду входит и величина а из (3.10). Подставляя (3.19) в (1.12), получаем периодическое решение

с периодом (3.16). А после замены получим (1.13) с периодом Но можно, как и (1.14), получить

где — периодические с периодом После замены получим уравнения типа (1.15), где теперь вместо рядов справа по степеням С будут стоять ряды по на основании (3.17), после чего можно искать решение в виде (3.21), сравнивая коэффициенты при всех степенях и определяя последовательно постоянные в (3.17) так, чтобы коэффициенты в (3.21) получились периодическими с периодом

Замечание. Предположим, что точка (0, 0) для системы (3.1) не центр, но существует периодическое решение при стремящееся к периодическому решению предельной системы при которому соответствует замкнутая интегральная кривая

Периодическому решению исходной системы соответствует замкнутая интегральная кривая , где полярный угол. Здесь при . В этом случае уравнение (3.4), очевидно, имеет решение

где Эту замкнутую интегральную кривую в таком виде мы легко найдем, подставляя этот ряд в (3.4) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Но мы должны быть уверены, что вблизи окружности периодическое решение действительно есть (при малых ).