Главная > Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. О периодических решениях

Теорема 4.1. Дана система

где

Пусть имеем решение с начальными условиями

обладающее свойством

где — целое положительное. Это решение будет периодическим с периодом

Доказательство. Из (4.1) имеем

Введем новую функцию

В силу (4.5) имеем

и на основании Но решением уравнения (4.7) с таким начальным условием будет только откуда и следует теорема 4.1. В частности, конечно, теорема справедлива, когда (4.1) не содержит Если в данном случае то это решение периодическое с периодом Т.

Следствие 4.1. Если в не входит, то всякое замкнутое решение является периодическим.

Пусть система (4.1) не содержит

и мы имеем интегралы

такие, что, полагая

из равенств

находим непрерывные функции

где — произвольные постоянные или

Тогда

и, подставляя это в первое из уравнений (4.1), находим

Отсюда найдем

Предположим еще, что имеем

Тогда, согласно (4.10) и (4.8), имеем -параметрическое семейство замкнутых решений, а тем самым, согласно следствию 4.1, и периодических решений с периодом Т. В частности, может быть, из (4.9) имеем

А тогда, полагая

из (4.17) получим

Из первого уравнения системы (4.8) найдем

Отсюда найдем

Если имеем

то система (4.1) имеет замкнутое решение, а тем самым и периодическое с периодом Т.

Пример. Дана система

Предположим, имеем интеграл

где — такая функция, что после замены

имеем

откуда находится непрерывная функция

Имеем

Если теперь отсюда получим такое, что возможно

то система (4.23) имеет периодическое решение.

Рассмотрим частный случай, когда

и ряды без свободных и линейных членов. Тогда из (4.28) имеем

Здесь степенной ряд от Отсюда видим, что при достаточно малом начальном значении найдем такое Т, что будем иметь (4.29). Если теперь имеем (4.24) и (4.27), то интегральные кривые, начинающиеся в достаточно малой окрестности начала координат, будут замкнутыми, а решения системы 1

будут периодическими. Если, в частности, интеграл (4.24) такой, что

где ограничены при и то непрерывную функцию (4.27) имеем согласно теореме из неявных функций. Действительно, извлекая корень степени, получим

поэтому производная по от левой части при всех и малых Следовательно, имеем . Впрочем, имеет место 2

Лемма 4.1. Пусть

непрерывна в области или

конечны и при

Тогда равенство

при достаточно малых С определяет замкнутые кривые вокруг точки (0, 0).

Возьмем

По условию 2 равенство

при достаточно малом в окрестности точки (0,0) определяет ограниченную область и при эта область сжимается к (0, 0). Действительно, согласно условию 2, при будет при множество точек определенное равенством (4.31), сжимается к (0, 0), так как

По условию 3 и теореме о неявных функциях равенство определяет кривую или проходящую через точку по обе стороны от точки (т. е. и при и при При достаточно малом Со эта кривая ограничена, следовательно, ограничен и Может ли она быть незамкнутой? Если может, то только по двум причинам:

1. При имеем при она не существует (или при будет при не существует).

2. При не имеет предела.

Первый случай быть не может, так как если то кривая проходит через и существует по обе стороны (и при и при Второе быть не может, так как при : ограничено, поэтому существует при так как кривая определена равенством и, следовательно, поэтому не может быть и (в силу непрерывности Но если то имеем

при Заметим еще, что если х — наибольшее из тех, которые определены равенством (4.31), а у — соответствующее у, то, очевидно, имеем

определена и при и при Может ли кривая не окружать точку Нет, так как если точка (0, 0) находится вне кривой то в области, ограниченной этой кривой, имеется точка в которой достигает максимума или минимума. А тогда, как известно, будет

что противоречит условию 3. Таким образом, если система (4.23) имеет интеграл (4.24), где удовлетворяет условиям 1, 2 и 3 леммы 4.1, то система окрестности начала координат имеет периодические решения.

Можно еще поставить такой вопрос. Дана система (4.1), где не предполагается периодической от Может ли такая система иметь периодическое решение?

Пусть система (4.1) имеет периодическое решение с периодом со. Тогда имеем

Отсюда имеем

Это означает, что если такое периодическое решение есть, то вдоль этого решения правые части уравнений (4.1) периодические с периодом соизмеримым с со. Отсюда же следует, что если в периодическая по с периодом то система может иметь периодическое решение с периодом несоизмеримым с со.

Пример 1. Правые части системы

непериодические, но система имеет периодическое решение

Пример 2. Правые части уравнений

— периодические с периодом но имеют периодическое решение с периодом вообще говоря, несоизмеримым с Как можно найти указанные здесь периодические решения с периодом, несоизмеримым с периодом правых частей уравнений (4.1), или когда вообще правые части уравнений (4.1) непериодические? Очевидно, эти решения определяются равенствами (4.32). Следовательно, искомые решения надо искать из (4.32) и никаких других равенств у нас нет. Но здесь можно рассуждать так. Пусть определено из (4.32). Спрашивается, будет ли оно решением уравнений Это определяется равенствами

Найдем из (4.33) производные от по Имеем уравнений:

откуда и найдем Таким образом, функции определяемые равенствами (4.34), и определенные из (4.32), должны удовлетворять уравнениям (4.1). Или, иначе, подставим из (4.1) у и в (4.34):

Эти равенства должны выполняться для определенных равенствами (4.33), т. е. должно быть

где

Это и есть необходимое и достаточное условие того, что определенные равенствами (4.33), будут решениями уравнений (4.1). А кроме того, эти функции должны быть и периодическими с периодом со.

Таким образом, система (4.1), где обладает свойством (4.2), может иметь периодическое решение с периодом, несоизмеримым с . Но линейные системы отличаются от нелинейных. Именно имеет место

Теорема 4.2. Пусть дана система двух дифференциальных уравнений

где х — вектор второго порядка и -матрица второго порядка, элементы которой обладают свойством при некоторым образом. Здесь Т — произвольное и в точках — непрерывные. Тогда система (4.38) не имеет периодического решения с периодом а, несоизмеримым с (см. [37], с. 203).

Однако эта теорема неверна для системы более чем двух уравнений. Но если в (4.37) P(t) — непериодическая, то возможно периодическое решение для любого числа уравнений.

1
Оглавление
email@scask.ru