§ 4. О периодических решениях

Теорема 4.1. Дана система

где

Пусть имеем решение с начальными условиями

обладающее свойством

где — целое положительное. Это решение будет периодическим с периодом

Доказательство. Из (4.1) имеем

Введем новую функцию

В силу (4.5) имеем

и на основании Но решением уравнения (4.7) с таким начальным условием будет только откуда и следует теорема 4.1. В частности, конечно, теорема справедлива, когда (4.1) не содержит Если в данном случае то это решение периодическое с периодом Т.

Следствие 4.1. Если в не входит, то всякое замкнутое решение является периодическим.

Пусть система (4.1) не содержит

и мы имеем интегралы

такие, что, полагая

из равенств

находим непрерывные функции

где — произвольные постоянные или

Тогда

и, подставляя это в первое из уравнений (4.1), находим

Отсюда найдем

Предположим еще, что имеем

Тогда, согласно (4.10) и (4.8), имеем -параметрическое семейство замкнутых решений, а тем самым, согласно следствию 4.1, и периодических решений с периодом Т. В частности, может быть, из (4.9) имеем

А тогда, полагая

из (4.17) получим

Из первого уравнения системы (4.8) найдем

Отсюда найдем

Если имеем

то система (4.1) имеет замкнутое решение, а тем самым и периодическое с периодом Т.

Пример. Дана система

Предположим, имеем интеграл

где — такая функция, что после замены

имеем

откуда находится непрерывная функция

Имеем

Если теперь отсюда получим такое, что возможно

то система (4.23) имеет периодическое решение.

Рассмотрим частный случай, когда

и ряды без свободных и линейных членов. Тогда из (4.28) имеем

Здесь — степенной ряд от Отсюда видим, что при достаточно малом начальном значении найдем такое Т, что будем иметь (4.29). Если теперь имеем (4.24) и (4.27), то интегральные кривые, начинающиеся в достаточно малой окрестности начала координат, будут замкнутыми, а решения системы 1

будут периодическими. Если, в частности, интеграл (4.24) такой, что

где ограничены при и то непрерывную функцию (4.27) имеем согласно теореме из неявных функций. Действительно, извлекая корень степени, получим

поэтому производная по от левой части при всех и малых Следовательно, имеем . Впрочем, имеет место 2

Лемма 4.1. Пусть

непрерывна в области или

конечны и при

Тогда равенство

при достаточно малых С определяет замкнутые кривые вокруг точки (0, 0).

Возьмем

По условию 2 равенство

при достаточно малом в окрестности точки (0,0) определяет ограниченную область и при эта область сжимается к (0, 0). Действительно, согласно условию 2, при будет при множество точек определенное равенством (4.31), сжимается к (0, 0), так как

По условию 3 и теореме о неявных функциях равенство определяет кривую или проходящую через точку по обе стороны от точки (т. е. и при и при При достаточно малом Со эта кривая ограничена, следовательно, ограничен и Может ли она быть незамкнутой? Если может, то только по двум причинам:

1. При имеем при она не существует (или при будет при не существует).

2. При не имеет предела.

Первый случай быть не может, так как если то кривая проходит через и существует по обе стороны (и при и при Второе быть не может, так как при : ограничено, поэтому существует при так как кривая определена равенством и, следовательно, поэтому не может быть и (в силу непрерывности Но если то имеем

при Заметим еще, что если х — наибольшее из тех, которые определены равенством (4.31), а у — соответствующее у, то, очевидно, имеем

определена и при и при Может ли кривая не окружать точку Нет, так как если точка (0, 0) находится вне кривой то в области, ограниченной этой кривой, имеется точка в которой достигает максимума или минимума. А тогда, как известно, будет

что противоречит условию 3. Таким образом, если система (4.23) имеет интеграл (4.24), где удовлетворяет условиям 1, 2 и 3 леммы 4.1, то система окрестности начала координат имеет периодические решения.

Можно еще поставить такой вопрос. Дана система (4.1), где не предполагается периодической от Может ли такая система иметь периодическое решение?

Пусть система (4.1) имеет периодическое решение с периодом со. Тогда имеем

Отсюда имеем

Это означает, что если такое периодическое решение есть, то вдоль этого решения правые части уравнений (4.1) периодические с периодом соизмеримым с со. Отсюда же следует, что если в периодическая по с периодом то система может иметь периодическое решение с периодом несоизмеримым с со.

Пример 1. Правые части системы

непериодические, но система имеет периодическое решение

Пример 2. Правые части уравнений

— периодические с периодом но имеют периодическое решение с периодом вообще говоря, несоизмеримым с Как можно найти указанные здесь периодические решения с периодом, несоизмеримым с периодом правых частей уравнений (4.1), или когда вообще правые части уравнений (4.1) непериодические? Очевидно, эти решения определяются равенствами (4.32). Следовательно, искомые решения надо искать из (4.32) и никаких других равенств у нас нет. Но здесь можно рассуждать так. Пусть определено из (4.32). Спрашивается, будет ли оно решением уравнений Это определяется равенствами

Найдем из (4.33) производные от по Имеем уравнений:

откуда и найдем Таким образом, функции определяемые равенствами (4.34), и определенные из (4.32), должны удовлетворять уравнениям (4.1). Или, иначе, подставим из (4.1) у и в (4.34):

Эти равенства должны выполняться для определенных равенствами (4.33), т. е. должно быть

где

Это и есть необходимое и достаточное условие того, что определенные равенствами (4.33), будут решениями уравнений (4.1). А кроме того, эти функции должны быть и периодическими с периодом со.

Таким образом, система (4.1), где обладает свойством (4.2), может иметь периодическое решение с периодом, несоизмеримым с . Но линейные системы отличаются от нелинейных. Именно имеет место

Теорема 4.2. Пусть дана система двух дифференциальных уравнений

где х — вектор второго порядка и -матрица второго порядка, элементы которой обладают свойством при некоторым образом. Здесь Т — произвольное и в точках — непрерывные. Тогда система (4.38) не имеет периодического решения с периодом а, несоизмеримым с (см. [37], с. 203).

Однако эта теорема неверна для системы более чем двух уравнений. Но если в (4.37) P(t) — непериодическая, то возможно периодическое решение для любого числа уравнений.