§ 10. Построение решений во всей области существования

Теорема 10.1. Если

где определена и непрерывна в области

и в этой области выполнены условия Липшица по у, то непрерывное решение

существующее промежутке

при некотором выборе может быть получено во всей этой области по методу Пикара

если при этих х имеем

Доказательство. Запишем уравнение, эквивалентное уравнению (10.1):

Как показано в теореме Пикара, имеем

равномерно относительно Спрашивается, будет ли

и будет ли при этих

Мы покажем, что будет и (10.10) и (10.9) при некотором выборе в последовательности, определяемой формулами (10.5), или при особом построении нескольких первых элементов этой последовательности.

Пусть

есть приближенное значение решения, обладающего свойством и

а

Таким образом, не выходит из области (10.10). Найдем приближенное значение решения по формуле

Вычитаем это из (10.7) и, пользуясь условием Липшица и (10.12), получаем

В силу также не выйдет из области (10.10).

Очевидно, в силу (10.13) все следующие приближения также не выйдут из области (10.10), и мы получим , равномерно. В частности, приближенное значение (10.11) можно получить так. Сначала получим для промежутка из (10.7) так, чтобы было (10.12). Затем найдем для промежутка

из

принимая за например, или другое постоянное близкое к Это также находим при условии (10.12). Тем самым методом Пикара найдем для промежутка

Мы так же по частям можем найти для промежутка или

Можно получить последовательность для промежутка иначе. Рассмотрим

Если

то существует

Если

то существует и Если существуют при , равномерно.

Заметим еще, что достигается в точке х, спределяемой равенством или на границах промежутка достигается в точке х, определяемой равенством или на границах определения функции Согласно (4.25) главы III, имеем

Согласно (10.19), если

то при все при остаются в области и мы будем иметь

равномерно для .

Таким образом, если

то все при остаются в области и мы имеем (10.21).

Предположим теперь, что уже выходит из области Тогда расширим задание вне области полагая, например,

В новой области снова будем иметь

при том же значении

Для новой все определены при и непрерьгоны. Из (10.19) видим, что через конечное число шагов все будут находиться в области и мы снова получим

Тоже самое получим для Через конечное число шагов влияние расширенного задания очевидно, будет исчезать.

Если в — вектор, то рассуждения мало меняются. Например, в (10.22) полагаем

при

при где изменяются в области В остальной части всей области состоящей из областей, ограниченных полуконическими поверхностями, внутри и на границе этой области равна значению в соответствующей вершине конуса.

Например, если то в заштрихованной области (рис. 9) полагаем Или, как и ранее, вне области можно просто положить

Рис. 9

Заметим, что для расширенного определения все при достаточно больших не выходят из области при и тем самым мы имеем для Но нас интересует решение для нерасширенного в промежутке существование которого при условии для предположено. Здесь речь идет только о построении этого решения методом Пикара. Существование рассматриваемого решения должно быть обнаружено другими методами, в частности, например, на основании главы XIII.