§ 7. Теорема о преобразовании системы (6.1) в каноническую вещественную систему

Вспомогательные формулы. Мы видели, что преобразование (5.4) переводит систему (6.1) в систему (5.5), где дано формулой (5.3), при этом

Характеристические числа определяются из уравнения (3.6), которое можно записать и так:

поэтому

Здесь — сумма диагональных элементов матрицы Очевидно, имеем

Рассмотрим матрицу (4.1) при комплексном

Отсюда следует, что если то матрицу можно записать так:

где

Так как — вещественная матрица, то комплексные числа попарно сопряжены, поэтому

Так как

Если матрица квазидиагональная, где, таким образом, — матрицы, или диагональная, т. е. — числа, то, как и (6.7), получаем Если — числа и то Если — числа, т. e. Z — диагональная, то

Пользуясь этими формулами, получаем

Эта матрица ограничена при и

в силу (7.4). Так как матрицы В и согласно (7.5), коммутируют, то коммутируют и матрицы т. е.

Переходим к основному рассуждению этого параграфа. Запишем здесь систему (6.1), преобразование (5.4) и систему (5.5):

Заметим, что здесь X и можно считать как векторами, так и матрицами. Пусть X — матрица. Тогда, согласно (4.10), (7.3), (7.5) и имеем

Обозначим здесь

Тогда (7.9) запишется так:

Так как есть решение уравнения

то (7.11) есть такое преобразование в X, при котором уравнение переходит в уравнение (7.12). Здесь мы считали в и X матрицами, но можно их считать и векторами. Пусть в и X — векторы. Имеем (см. (7.3))

Сокращая подчеркнутые члены, получаем

На основании (7.8) отсюда легко получим (умножая это равенство справа на равенство (7.12). Таким образом, мы непосредственно доказали, что преобразование (7.11) переводит вектор — решение уравнения (7.12) в вектор X — решение уравнения На основании (7.9) и (7.11)

Мы получили результат: преобразование (7.13) переводит вещественную систему (6.1) в вещественную систему (7.12). Но здесь матрица преобразования комплексная, ограниченная вместе с Ограниченность следует из того, что ограничена постоянная. На основании (7.7) имеем

А тогда и ограничена на основании формулы

где -алгебраическое дополнение элемента матрицы (см. § 4).

Но наша главная цель — доказать, что существует вещественная матрица ограниченная вместе с и преобразующая вещественную систему (6.1) в вещественную систему (7.12) согласно формуле (7.13). Если среди есть комплексные, то и — комплексная, поэтому данная формулой (7.14), комплексная (и ограниченная):

где -вещественные ограниченные матрицы. Если в — вектор-решение уравнения (7.12), то и вектор-решение уравнения (6.1). А если — матрица-решение уравнения (7.12), то будет матрицей.

Пусть в матрица (7.10). Тогда У—матрица, имеющая вид

— решение уравнения (6.1). Подставим это в (6.1)

Так как — вещественная, то — решения уравнений (6.1). Но тогда и

— решение уравнения (6.1) при всяких а (и вещественных). Это следует из (7.18), где теперь вместо надо поставить а. Обозначим

Тогда

— вещественная матрица-решение уравнений (6.1).

Если обозначим

то

причем — решение уравнения (7.12). Отсюда следует, что при замене (7.22), где — вещественная ограниченная матрица, вещественные уравнения (6.1) переходят в вещественные уравнения (7.12).

Докажем это еще раз непосредственно. Так как У, данный равенством решение уравнений (6.1), то, подставляя У в (6.1), получим (после умножения слева на

Пусть теперь (7.22) есть преобразование вектора У в вектор где У — решение уравнения (6.1). Подставим У, данный равенством (7.22), в (6.1)

Заменим значением (7.23)

откуда

Если существует, то, умножая здесь справа на получаем (7.12), что и доказывает утверждение о том, что преобразование (7.22) переводит уравнения (6.1) в уравнения (7.12). Докажем существование и ограниченность матрицы . Для этого достаточно доказать, что

при некотором вещественном а. Имеем

Но согласно Следовательно, при Это значит, что так как иначе будет Поэтому при уравнение

будет иметь не более вещественных корней Берем Тогда

и

является фундаментальной системой решений уравнений (6.1), откуда следует, что и при всех Отсюда на основании (7.16) видим, что существует. Теперь покажем, что ограничена при Из (7.22) имеем

Здесь дано формулой (7.211) и удовлетворяет уравнению (7.12).

По формуле Остроградского (1.11) найдем

По формуле Остроградского также найдем

Здесь так как данный формулой (7.22), составлен из линейно независимых решений (это следует из (7.25)).

Подставим найденные значения в (7.26):

Если V и — матрицы, то, очевидно,

Поэтому и на основании (7.3), (7.1) и (7.4) имеем Следовательно, в (7.27) можно сократить множители после чего получим

Так как ограничена, а — постоянная, то ограничена (в силу Доказана

Теорема 7.1. Система (6.1) по формуле (7.22) преобразуется в систему (7.12) с помощью матрицы — вещественной и ограниченной вместе с .

Замечание 7.1. Если все характеристические числа матрицы — вещественные, то матрица постоянная вещественная с и есть матрица преобразования (5.4) системы (5.1) в систему (5.5).

Можно еще сказать, что формула (7.21), где

вещественная с доставляет фундаментальную вещественную систему решений уравнений (6.1).

Мы показали, как строится . А квазидиагональная матрица

раскрывается с помощью формулы (6.8) и будет теперь вещественной.