ГЛАВА IX. РЕШЕНИЯ С ОСОБЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ. УРАВНЕНИЕ у'=Р(х, y)/Q(x, у)

Введение

Рассмотрим уравнение

Предположим, надо построить его решение с начальными условиями

и в окрестности этой точки — голоморфная функция:

Тогда, согласно теореме Коши, такое решение существует, единственно и представимо в виде сходящегося ряда

Пусть теперь

но функция — голоморфная в окрестности точки Пусть далее что не уменьшает общности вопроса. Таким образом,

и этот ряд сходится при Запишем это так:

Здесь — голоморфные в окрестности точки Здесь возможны два случая:

или

Если имеем (8), то, согласно теореме Коши, имеем решение

Но

Легко видеть, что в силу (8) вообще получим

и

Следовательно, имеем решение

Пусть — четное. Если то, извлекая корни степени из (11), получаем

так как

А из (12) имеем решение уравнения (11)

Так как — четное, то этот ряд будет вещественным только при и в этой области имеем решение уравнения при Если же то вместо (12) получим

вместо (13) найдем

и этот ряд будет вещественным при Следовательно, решение уравнения при имеем лишь слева от нуля. Ряды (13) и (14) сходятся в области

Если — нечетное, то имеем (13) как при так и при т. е. решение при уравнения (1) существует и при

Пусть теперь имеем случай (9). Тогда уравнение (7) имеет только решение и в силу вещественности нет другого решения с начальными условиями при Отсюда следует, что уравнение (1) не имеет решения при

Замечание. Можно, конечно, рассматривать и тот случай, когда в уравнении не является голоморфной в окрестности точки но в окрестности этой точки выполнены условия теоремы Пикара.

Пример. Дано уравнение

где Р и Q — полиномы. Предположим, что Тогда будет случай уравнения (1), когда имеем уравнение (6). Например, пусть и начальные условия

Тогда

Решение при существует при Рассмотрим уравнение Решения при нет, так как

уравнение имеет решение и не имеет решения при

Второй тип особых начальных значений . В этом случае в (1) положим

и будем искать решение

Рассмотрим вопрос о существовании такого решения при двух предположениях:

I. В окрестности точки — голоморфная:

Тогда имеем голоморфное решение уравнения (16)

а уравнение (1) имеет решение

Если же то имеем только и нет решения при но в окрестности точки голоморфна:

Если , то имеем

В соответствии с прежними рассуждениями здесь либо имеем

либо

если — четное. Если же — нечетное, то имеем (20) как при так и при А решение при уравнения (1) получим в виде

Если же имеем

то уравнение (19) имеет решение уравнение (I) не имеет решения при Мы здесь, конечно, рассмотрели не все возможные случаи, так как, например, возможен случай, когда как в (16), так правые части делаются неопределенными в точке Но об этом будет идти речь впереди. Можно рассматривать вопрос о существовании решений с начальным условием (конечное) при Но такой случай приводится к предыдущему заменой так как тогда надо искать решение при Можно искать также решение с начальным условием

В сущности здесь рассматривается вопрос о возможном поведении решений при