§ 2. Замечания о преобразованиях рядов

Пусть дана функция

Представим ее в виде

Будем искать в этом разложении

Подставим (2.3) в (2.2) и вернемся к разложению (2.1):

Чтобы это значение совпало с (2.1), необходимо и достаточно, чтобы было

откуда имеем

Очевидно, что только определяется однозначно. Все же остальные содержат произвол. Например, из (2.6) видим, что или или можно задать произвольно. Вообще можно выбирать произвольно, лишь бы ряд

сходился. Мы также можем задать произвольно, лишь бы сходился ряд

Можно в каждом из рядов (2.3), например, положить при Следовательно, коэффициенты разложения (2.2) допускают большой произвол. Заметим еще, что если, согласно (2.4),

т. е. если при каждом — величины одного знака, то из абсолютной сходимости ряда (2.1) следует абсолютная сходимость рядов (2.2) и (2.3).