§ 6. Система Гамильтона, варьированная относительно системы (5.22)

Рассмотрим систему

где - функция — нецрерывно-дифференцируемая функция по периодическая с периодом со по и

Это система Гамильтона с

и, очевидно, имеем интеграл

поэтому точка покоя системы (6.1) будет устойчивой, но не асимптотически, интегральные кривые (6.3) в окрестности начала координат будут замкнутыми. Правые части уравнений

(6.1) отличаются от правых частей (5.22) соответственно слагаемыми

Как мы отметили, интегральные кривые (6.3) системы (6.1) будут замкнутыми (согласно (5.21) и предыдущим рассуждениям), но они не обязательно соответствуют периодическим решениям уравнений (6.1).

Когда же они будут и периодическими? Ответим на этот вопрос. Предположим, что

где принимает конечное бесконечное множество целых значений, — полиномы или ряды, не имеющие свободных членов, — линейно независимые функции. Полагая в получаем

Для согласно (4.28), получим дифференциальное уравнение

где — степенной ряд по степеням коэффициенты которого суть полиномы от Согласно рассуждениям, относящимся к уравнению (4.31), равенство (6.5) определяет непрерывную функцию

для произвольных значений и малых Здесь есть стеленной ряд от

Из (6.6) имеем

Отсюда видим, что если т. е. вместо системы (6.1) имеем невозмущенную систему (5.22), то принимает вид

где дано равенством (6.7). Здесь функция обладает свойством

где

Поэтому функции — периодические с периодом Отсюда следует, согласно что и решения системы (5.22), начинающиеся в окрестности начала координат, будут периодическими с периодом (6.10). Что можно сказать о функции определенной равенством (6.70? Может ли она обладать свойством Обратимся сначала непосредственно к системе (6.1), где задана равенством (6.4). Может ли эта система иметь периодическое решение с периодом Пусть такое решение есть, т. е.

Тогда из (6.1) имеем

Эти равенства могут выполняться при условиях

или

Учитывая значение данное формулой (5.23), мы видим, что в окрестности начала координат уравнения (6.12) имеют только решения Когда же могут выполняться (6.13), которые, согласно (6.4), можно записать и так:

Мы здесь заменили через так как на интегральных кривых имеем (6.3). Равенство (6.14) может выполняться при двух обстоятельствах:

или

Если

то равенства (6.15) выполнены, так как имеют период . Если же нет (6.17), то должно быть (6.16). А это означает, что — совместный корень всех функций Если т. е. если в этой сумме лишь одно слагаемое, то — корень уравнения

Теперь снова обращаемся к равенству Если — совместные корни уравнений (6.16), то периоды периодических решений определяются равенством (6.10), где нужно подставить в значение

Рассмотрим теперь возможность (6.15). В этом случае, полагая (что всегда возможно, так как — периодические с периодом )

из равенства (6.7 при получим

где дано равенством (6.7). Отсюда получим счетную последовательность значений при

которой решения системы (6.1) будут периодическими с периодом Здесь надо найти из уравнений (6.20) при разных и I (целые). Отметим, что при так как функции не имеют свободных членов При этом левая часть равенства (6.20) приближается к значению так как при Другими словами, при малых С имеем

или

Здесь справа число фиксированное. Слева можно указать такие , что тогда имеем и такие, что равенство (6.21) будет выполнено при Следовательно, при таких как видно из (6.20), имеем

Этим соответствуют периодические решения системы (6,1), стягивающиеся к началу координат при Мы получили две счетные последовательности (и вторая последовательность наверняка существует) периодических решений системы (6.1), стягивающихся к началу координат. Период этой второй группы периодических решеиий соизмерим с периодом функций периоды первой группы, очевидно, несоизмеримы с .

Таким образом, имеем две группы периодических решений. Остальные решения системы (6.1) (соответствующие интегральным кривым будут замкнутыми, но не периодическими. Но если в системе (6.1) введем новую независимую переменную по формуле

то получим систему

для которой замкнутым интегральным кривым (6.3) будут соответствовать периодические решения.

Пример. Пусть в (6.5)

а и b — постоянные. Тогда (6.3) имеет вид

Отсюда положительное значение найдем в виде

Подставляя это в равенство, соответствующее равенству (6.6) в данном случае:

получаем вместо уравнение а

Тогда соответственно равенства (6.8) и (6.10) имеют вид

Вместо равенства (6.20) имеем

откуда и находим при

Таким образом, решение гамильтоновой системы (5.22) неасимптотически устойчиво и все решения в окрестности точки — периодические. Решение варьированной гамильтоновой системы (6.1) также будет неасимптотически устойчивым, а решения в окрестности начала координат будут все замкнутые и счетное множество из них периодические. Если же вариация этой системы не содержит голоморфна и не содержит линейных и квадратичных членов, то все решения варьированной системы будут в окрестности начала координат периодическими. Можно задаться вопросом, какие изменения возможны в качественной картине, если варьировать гамильтонову систему (5.22) так, что вариации вместе со всеми частными производными в окрестности начала координат будут по сравнению с малыми как угодно высокого порядка, но допускается разрыв (как угодно малый) вдоль кривой, входящей в (0, 0). Можно показать, что при таких вариациях, как зависящих от так и не зависящих, нулевое решение может остаться устойчивым неасимптотически и стать асимптотически устойчивым и неустойчивым. Решения в окрестности начала координат могут остаться периодическими. Это показано в работе [38].