ГЛАВА II. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Определения

Системой обыкновенных дифференциальных уравнений! называется совокупность уравнений

Частным случаем такой системы является нормальная система (разрешенная относительно производных) дифференциальных уравнений

Такие системы мы и будем изучать. Будем говорить, что система (1.2) задана в области если в каждой точке этой области правые части уравнений (1.2) определены. Совокупность функций

определенных в промежутке называется решением системы (1.2), если эти функции тождественно удовлетворяют уравнениям (1.2), т. е. если

Задача Коши формулируется здесь так: найти решение (1.3) системы (1.2), удовлетворяющее условиям:

где произвольная точка из области Другими словами, задача Коши состоит в том, чтобы найти решение, проходящее через точку Здесь, как видим, в определении задачи Коши не фиксируется тот промежуток, в котором определено решение следовательно, он может быть как угодно малым, заключающим в себе и точку Этот промежуток может быть и односторонним: Будем говорить, что через точку проходит единственное решение системы (1.2), если для каждых двух решений:

и

проходящих через эту точку, можно указать такое , что

или если рассматривается односторонний промежуток (здесь правый) в окрестности Под областью

далее и будем понимать область, состоящую из точек, через которые проходит единственное решение.

Два определения общего решенная.

1. Совокупность функций

называется [общим решением системы (1.2) в области если для всякой точки система равенств (1.5) разрешима относительно постоянных

и подстановка этих значений уравнения

приводит к уравнениям (1.2), т. е.

II. Совокупность функций (1.5) называется общим решением системы (1.2) в области если для всякой точки имеем (1.6) и при этих значениях Си функции (1.5) тождественно удовлетворяют уравнениям (1.2). Эквивалентность этих определений докажется так же, как и в случае одного уравнения. Позднее мы увидим, что при некоторых довольно общих предположениях относительно в (1.2) общее решение существует в окрестности точки содержащейся в формулировке задачи Коши. Укажем и такие общего вида системы, для которых можно построить общее решение во всей области задания уравнений или в ее части.

Первое определение особого решения. Решение (1.3), полученное из (1.5) при частных значениях называется частным решением. Если же решение (1.3) невозможно получить из (1.5) при частных значениях С и то оно называется особым. Здесь мы, следовательно, в некоторых случаях допускаем возможность построения общего решения замкнутой области И если такое общее решение построено, то особых решений нет. Если же общего решения для области D (включающей и границу области) нет, а на границе области имеются решения, то они называются особыми. Для некоторых простых классов систем мы имеем возможность получить общее решение в более или менее простой форме, а тогда легко видеть особые решения, которые могут располагаться лишь на границе области

Второе определение особого решения. Решение (1.3) называется особым, если оно состоит из точек, в которых нарушена единственность решения, и если в этих точках сохраняется непрерывность

Часто оба эти определения оправданы, т. е. особое решение обладает обоими свойствами этих определений. Но второе определение основано на внутреннем свойстве особого решения (нарушение единственности), оно не связано с существованием общего решения. Первое же определение позволяет в некоторых случаях изучить качественную картину поведения интегральных кривых в окрестности границы области по свойствам общего решения. Заметим еще,

что, рассматривая первое определение, надо иметь в виду, что иногда особое решение системы (1.2) содержит и произвольные постоянные числом Сейчас увидим, почему это возможно, и рассмотрим пример.

Как следует из предыдущего, особые решения могут возникать только в случае, если в (1.2) правые части заданы и на границе области так как иначе невозможно рассматривать кривые (1.3), удовлетворяющие уравнениям (1.2) и лежащие на границе области Размерность области D равна размерность же множества граничных точек области D по крайней мере на единицу меньше, т. е. не более откуда и следует, что множество интегральных кривых, расположенных на границе области не может содержать произвольных постоянных параметров но может содержать этих параметров или меньше.

Пример.

Здесь общее решение есть

Решение содержит произвольное постоянное и является особым, так как не может быть получено из общего при частных значениях Здесь область есть ее граница на которой и лежит однопараметрическое семейство особых решений каждое из которых состоит из точек, в которых нарушается единственность, так как через каждую точку проходит еще решение

содержащееся в общем решении.

Заметим, однако, что эти два определения особых решений, вообще говоря, не эквивалентны.