§ 6. Уравнение Ван дер Поля. Качественная теория

Точка покоя Для этой системы выполнены условия (5.2), (5.4) главы XIII и не выполнены условия (5.3), поэтому если — особая точка, то при будет Но есть ли такая особая точка? Системе (6.1) соответствует уравнение

Найдем первого (линейного) приближения уравнений (6.1):

Отсюда видим, что точка является неустойчивым фокусом, т. е. при точка удаляется от начала координат по спирали. Исследуем качественную картину расположения интегральных кривых уравнений (6.1) на плоскости . Есть ли особые точки решений

Как себя ведет при и при Возможно ли:

не имеет предела при

Полагая получаем

откуда видим, что не существует при конечное, так как существует решение Отсюда следует, что нет решения при Далее мы увидим, что нет и такого решения, когда при конечное. Пусть Тогда имеем

Из видим, что нет решения (т. е. ) при (конечное). Введем новый параметр Тогда

Найдем здесь первого приближения:

Отсюда следует, что существует однопараметрическое семейство решений: при или при Согласно замечанию 12.1 (в § 12, глава III), это решение представимо в виде рядов

где постоянные, сходящихся при достаточно малом произвольном постоянном и при Заметим, однако, что в сущности (6.7) — одна кривая, так как параметр а производит только сдвиг по времени:

(см. § 6, глава XIII) и это мы увидим далее иначе. Но таким семейством будет только

Например, если

то произвольной постоянной и

Семейством (6.7) здесь будет только (6.8), хотя и остальные решения обладают свойством

при в чем легко убедиться. Отметим еще следующее. Меняя знак параметра в (6.6), получаем уравнения

Здесь линейной системы суть поэтому можно рассматривать вопрос об устойчивости решения при Этот вопрос согласно Ляпунову решается так [59]. Находим у из уравнения (приравнивая к нулю правую часть второго уравнения): Подставляя это в первое уравнение, получаем

Так как разложение правой части здесь начинается с нечетной степени и коэффициент при этой степени положительный, то решение не будет устойчивым при тем более оно не будет асимптотически устойчивым. Отсюда следует, что все решения системы (6.6), начинающиеся вблизи точки не могут обладать свойством при Но отдельные решения могут обладать таким свойством, что и имеет место на самом деле. Это мы позднее покажем. Заметим теперь следующее. Так как то при возрастает, а так как то при убывает, возрастает. Если при этом то и, будучи отрицательной, при возрастает и, следовательно, — 0, т. е. стремится к нулю с отрицательной стороны. Тем самым будет Из (6.6) имеем

Если не стремится при то при При этом может быть и Если же при то при Если при этом - конечное, то т. е. решение при возможное согласно условиям (5.2), (5.4), существует. При этом возможно и 0 при Могут ли вдоль направления Легко показать, что это можно вдоль направлений т. е. при 2. При этом точка (0, 0) перестает быть фокусом (глава XIII, § 6).

Нарисуем кривую

Это числитель в (6.2). Знак в (6.2) определяется числителем (6.10) и знаменателем у. Поставим знак в зонах, ограниченных кривой (6.10): и осью х. Кривая (6.10) состоит из трех частей: Знак на рисунке означает, что в этой зоне возрастает с увеличением х и, наоборот, убывает, если стоит знак Как мы видим, в окрестности точки (0, 0) имеем неустойчивый фокус, поэтому точка при удаляется от (0, 0) по спирали (рис. 18, 19). Существует ли при Имеем

и разложение

Рис. 18

Рис. 19

Следовательно, при нет при т. е. нет качественной картины типа

Но есть

И есть

Как мы видели, нет при , но у увеличивается при уменьшении х, так как в зоне М имеем знак Следовательно, или продолжимо при или, во всяком случае, продолжимо до Но слева от кривой и слева от оси у при уменьшении х убывает и у. Что же будет при уменьшении х после Возможны случаи:

продолжимо в зону А.

продолжимо при и расположено между кривой (6.10) и осью х.

Пусть имеем случай I. В зоне А при уменьшении возрастает. Следовательно, или при или при Но второе невозможно, так как при этом из (6.6) имеем

и должно быть при но это невозможно, так как есть только

Рассмотрим случай II. Как мы видим, через каждую точку проходит решение при и имеет вид В окрестности точки имеем качественную картину, т. е. слева от нет этой

кривой, в точке достигает максимума. Проведем

I перпендикулярно оси через точку Обозначим а точки на I, через которые проходят входящие в зону А, т. е. пересекающие кривую (6.10). Обозначим точки, через которые проходят входящие в зону т. е. пересекающие ось х. И те, и другие существуют. Обозначим а нижнюю границу точек а и рассмотрим решение Как себя ведет это решение при Оно, очевидно, существует при всех Если бы кривая входила в зону А, то а не была бы граничной точкой множества а, так как тогда и интегральные кривые, проходящие через соседние с а точки (ниже а), входили бы в зону А (в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий). Если бы пересекала ось х, то и кривые проходящие через соседние с а точки (сверху), пересекали бы ось х, т. е. а не была бы границей множества а. Отсюда следует, что кривая расположена ниже кривой и выше оси х. Пусть точка на I, являющаяся граничной для множества интегральная кривая, проходящая через точку , т. е. Очевидно, как и кривая проходит выше оси х и ниже кривой и существует при всех Появляется вопрос: эти интегральные кривые совпадают или нет, т. е. их две? Эти кривые продолжимы при и проходят ниже кривой (6.10) и выше оси х. Запишем интегральную кривую в параметрическом виде Здесь при уменьшении убывает, так как но как: при или при На эти вопросы мы ответим позднее. Как себя ведет интегральная кривая при ? Мы видели, что нет при конечное.

При будет до пересечения кривой (6.10). После пересечения кривой (6.10), т. е. в зоне М, при увеличении убывает до нуля и при пересечении оси х качественная картина имеет вид

Существует ли, однако, решение уходящее вправо при Мы видели, что невозможен случай при . Но через точки проходят решения достигающие максимума в точках В зоне К имеем решения (выше кривой возрастающие при возрастании Но в зоне В есть и такие решения, которые в точках кривой (6.10) достигают миксимума и затем при увеличении х убывают. Эти решения существуют при так как нет решений при и нет при Проведем прямую I, перпендикулярную оси х в точке Обозначим через а нижнюю точную границу точек на I, через которые проходят решения пересекающие ось х. Рассмотрим решение Это решение при возрастании х не пересекает ось х, так как в противном случае и через близкие к а точки у проходили бы интегральные кривые пересекающие ось х, и тогда бы а не было нижней точной границей множества На I существует точная верхняя граница точек у, через которые проходят решения, пересекающие кривую (6.10), и потом уходящие при вниз, поэтому интегральная кривая не пересекает кривую (6.10). Следовательно, интегральная кривая определена при и расположена ниже оси х и выше кривой (6.10). Таким образом, существует интегральная кривая определенная при всех и расположенная выше кривой (6.10). Интегральная кривая очевидно, также определена при и расположена ниже оси х и выше кривой (6.10).

Может быть, интегральные кривые совпадают, т. е. А может быть, , тогда имеем полосу заполненную интегральными кривыми, определенными при и расположенными ниже оси х и выше кривой Рассмотрим теперь систему (6.1) и качественную картину вокруг начала координат. Мы видели, что в окрестности начала координат имеем неустойчивый фокус, т. е. точка удаляется от начала координат по спиралям при возрастании Рассмотрим интегральную кривую определенную в области и идущую из этой области и при увеличении и при возрастании х. Эту кривую можно записать и так: Здесь при увеличении увеличивается и х (так как В зоне L увеличивается и Точка в зоне L при увеличении движется вправо и вверх. После пересечения кривой (6.10) эта точка движется вправо и вниз, так как

убывает. Как мы видели, эта точка обязательно пересекает ось х, после чего и убывает (так как (так как в зоне К). Затем эта точка пересекает кривую (6.10), после чего продолжает убывать и возрастает (так как в зоне При возрастании эта точка пересекает ось х, так как нет решения при После пересечения оси х и возрастают (так как Далее снова точка пересекает ось у и кривую (6.10) и при возрастании приближается к началу координат по спирали. Пусть при увеличении точка в области фокуса, удаляясь от (0, 0) по спирали, пересекает последовательно ось у в точках т. е. последовательность возрастает. Обозначим верхнюю границу этой последовательности через Последовательность точек пересечения интегральной кривой с осью у, убывает. Пусть нижняя точная граница этих [последовательностей будет Очевидно,

Рассмотрим интегральную кривую или Как и решение или этого решения в некоторый момент снова пересекает ось в точке . Но быть не может, так как тогда не будет точной нижней границей множества Нет и

так как тогда снова не будет точной нижней границей множества Следовательно, , т. е. интегральная кривая замкнутая, поэтому является периодическим решением. Также докажем, что и интегральная кривая будет замкнутой, т. е. будет соответствовать периодическому решению. Но эти периодические решения разные или совпадающие, т. е. или Таким образом, мы доказали существование периодического решения уравнений (6.1). Будет ли оно одно или их несколько? Далее мы покажем, что при достаточно малом периодическое решение будет единственным. В [84] и [54] это доказано без предположения малости Но мы еще не ответили на вопрос: существует ли решение уравнений (6.1), обладающее свойством при конечное?

Найдем приближенное значение решения при существование которого мы доказали. Запишем второе из уравнений (6.1):

Отсюда имеем

Обозначим

Мы рассматриваем решение, обладающее свойством при или (существование такого решения мы доказали). Отсюда следует, что имеет конечный предел, так как и так быстро, что интеграл (6.13) существует при (или Действительно,

и при имеем неопределенность типа Раскроем ее по Лопиталю

Здесь так как рассматриваемое решение лежит ниже кривой (6.10) (и выше оси Поэтому

ибо

что обеспечивает сходимость интеграла (6.13) при Если в (6.12)

то из (6.12) имеем при или это решение соответствует интегральной кривой в зоне А. Но пусть

Тогда в (6.12) справа при или при имеем неопределенность, так как имеем (6.14). Запишем (6.12) в виде

и раскроем эту неопределенность по Лопиталю:

т. е. имеем асимптотическое равенство (при близких к или при большом

что и естественно, так как рассматриваемое решение расположено ниже кривой (6.10) и выше оси х. Подставляя это в первое уравнение системы (6.1), получаем

откуда

Отсюда видим, что при будет не так как при .

Мы показали, что решения со свойством при нет, а есть только при Если то интегральная кривая, определенная равенством (6.12), при расположена ниже оси х, выше кривой (6.10) и при этом Существование такой интегральной кривой мы также доказали ранее.

Из (6.17) имеем

При больших отсюда приближенно получим

а подставляя это в находим

откуда

Пользуясь этим, из (6.15) получаем

или где при Если положим то из уравнений (6.1) получим уравнения

которые имеют однопараметрическое семейство решений

асимптотическое значение которых имеет вид (6.18) и (6.19). Но, как это мы видели и в (6.7), здесь параметр с не является существенным. Таким образом, мы видим, что уравнения (6.1) имеют однопараметрическое семейство решений при Все это можно повторить относительно решений уравнения (6.1): при Но, как мы видели и ранее, в формулах (6.7), параметр в этом семействе производит лишь сдвиг по времени. Отсюда следует, что при имеем лишь одно решение Это следует из того,

что мы не имеем множества решений, зависящих от параметра, обладающих свойством или И эти решения из бесконечности идут в окрестность начала координат и окружают предельный цикл. Рассмотрим решения уравнений (6.1): х-—оо, при или т. е. решения в зоне А. Для второго уравнения (6.1) в зоне А имеем поэтому при уменьшении возрастает. Возьмем вместо второго уравнения уравнение при больших Очевидно, при больших имеем

поэтому для системы

при возрастает медленнее. Для этой системы имеем

где Т конечное, поэтому при где конечное. Тем более при где конечное, будет для системы (6.1). Для системы (6.1) приближенно большие получим, рассматривая вместо (6.1) систему

которая легко интегрируется. Таким образом, в зоне А все решения обладают свойством при где конечное. То же самое будет в зоне В. Таким образом, мы показали, что системе (6.1) соответствует следующая качественная картина расположения интегральных кривых на плоскости . В зонах А и В интегральные кривые существуют в области остальные — в области Существует 5 классов интегральных кривых.

I. Интегральные кривые, заполняющие область фокуса вокруг начала координат. При точка этих решений удаляется от начала координат по спирали по часовой стрелке. Эта область фокуса ограничена предельным

циклом. Этот предельный цикл является единственным К Остальные интегральные кривые проходят в зонах, ограниченных кривой (6.10):

и осью х (см. рис. 18, 19). Кривая (6.10) состоит из трех кривых

II. Интегральные кривые, точка которых при удаляется в бесконечность так, что и эта ветвь расположена ниже оси х и выше кривой (6.10), а при эта точка по спирали приближается к предельному циклу по часовой стрелке.

III. Интегральные кривые, точка которых при расположена ниже кривой (6.10) и выше оси х так, что при приближается к предельному циклу по спирали по часовой стрелке.

IV. Интегральные кривые, точка которых при в зоне А удаляется в бесконечность так, что при эта точка по спирали приближается к предельному циклу по часовой стрелке.

V. Интегральные кривые, точка которых при 0 удаляется в бесконечность так, что (после пересечения кривой (6.10)), а при приближается к предельному циклу по часовой стрелке.

Таким образом, все интегральные кривые вне предельного цикла одним концом наматываются на предельный цикл, а другим уходят в бесконечность или при или при И это множество интегральных кривых разделяется двумя граничными интегральными кривыми с ограниченным у при или при х-—оо, а другой их конец также наматывается на предельный цикл.

Все эти решения содержатся в формуле (6.12). Но мы построили решение при только приближенно— асимптотическое представление. Так как это решение существует в области то это решение можно строить и по методу Пикара в виде сходящегося ряда, но мы не знаем его начального значения. Заметим еще, что во всех этих рассуждениях малость не имела значения. Только при утверждении того, что начало координат — фокус, мы пользовались тем, что Но в следующем параграфе будем считать малым.