§ 9. Интегрирующий множитель

Если равенство (8.5) для уравнения (8.1) не выполнено, то умножим уравнение (8.1) на функцию

и выберем так, чтобы для уравнения (9.1) условие (8.5) выполнялось:

Функция называется интегрирующим множителем. Для определения (1 получаем дифференциальное уравнение в частных производных

В общем случае трудно найти решение уравнения (9.3). Но облегчающим обстоятельством является то, что требуется найти хоть какое-нибудь решение уравнения (9.3). Можно искать в виде

где — произвольно выбранная, определенная функция, — подлежащая определению. Подставляя (9.4) в (9.3), получаем

или

Если левая часть здесь окажется функцией от то

и, следовательно, будет найдено:

Если возьмем, например, т. е. то равенство (9.5) принимает вид

Если здесь правая часть окажется функцией от то будет найдено.

Пример. Очевидно, это уравнение не в полных дифференциалах, так как условие (8.5) не выполнено. Будем искать т. е. полагаем . Тогда (9.8) имеет вид

Можно для уравнения искать в виде т. е. или т. е. . В первом случае будет найдено, если, согласно (9.5),

во втором должно быть

Замечание. Из получаем

Следовательно, решения уравнения (8.1) определяются из равенств

Первое равенство дает общее решение

а второе равенство, или может доставлять решение, которое иногда окажется и особым.

Пример Условие (8.5) не выполнено:

Из имеем Это решение и особое. Пример Условие (8.5) не выполнено:

Из имеем Это решение и неособое, так как получается из общего формально при . А если общее

решение перепишем в виде то получим при

Позднее мы докажем существование интегрирующего множителя при довольно общих предположениях относительно