§ 4. Общий метод доказательства существования разложения (1.1)
Теперь перейдем к другому методу определения коэффициентов 
который не опирается на существование асимптотического разложения. Снова будем рассматривать уравнение (3.1) и уравнение
В этом методе 
можно считать и функциями от 
Равенство 
мы доказали на основании (2.6), т. е. доказали (2.7):
Далее имеем
Пользуясь теоремой Лопиталя, находим
Так как 
при 
то предел второго слагаемого равен нулю. Поэтому имеем
И так как 
то
Отсюда следует, что либо
либо
Выберем значение (4.4), т. е. 
и рассмотрим
Если окажется, что 
будет конечным, то выбор 
будет оправдан и мы получим асимптотическое разложение
где
Здесь 
может быть и ограниченной функцией, если 
— функции от 
так как в нашем рассуждении мы не пользовались тем, что 
— постоянные.
Итак, рассмотрим 
Отсюда видим, что если 
конечен, то
— произвольное. Так оно и будет: 
— проивольное
если 
Это видно из (3.6), так как если 
то из (3.6) имеем
Продолжая наше рассуждение, находим все коэффициенты а 
Например, 
найдем так:
Здесь предел последнего слагаемого равен нулю ввиду того, 
Поэтому имеем 
откуда
Итак, имеем 
где
Так шаг за шагом найдем все более далекие члены разложения 
и докажем во всяком случае асимптотичность разложения. Мы получим легко из этих формул и оценки величин 
всех 
или 
Если 
то, как видим из (4.9), должно быть
Отсюда следует, что асимптотического разложения вида (1.1) нет. Мы видели, что в этом случае имеется даже сходящееся разложение, но вида (1.4), именно разложение (2.22), (2.24), (2.26). Но мы нашим способом установили тот факт в разложении (2.22), что 
при 
т. е.
при 
