§ 8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция что

В таком случае его можно переписать в виде

откуда

Таким образом, если (8.1) есть уравнение в полных дифференциалах, то общее решение получается в виде (8.4).

Как узнать, что уравнение (8.1) является уравнением в полных дифференциалах? Пусть функции суть непрерывные вместе с производными

и

в некоторой открытой области Покажем, что необходимым и достаточным условием существования функции и удовлетворяющей равенству (8.2), является равенство

Необходимость. Если уравнение (8.2) в полных дифференциалах, то, согласно (8.2),

Отсюда

В силу непрерывности вторые смешанные производные здесь равны, откуда и следует (8.5).

Достаточность. Покажем теперь, что если условие (8.5) выполнено, то уравнение (8.1) является уравнением в полных дифференциалах. Пусть точка лежит в области вместе с кругом Найдем функцию определенную в этом круге удовлетворяющую условию (8.2). Найдем функцию удовлетворяющую первому из равенств (8.6)

Здесь — произвольная, пусть дифференцируемая функция от у. Определим таким образом, чтобы данная формулой (8.7), удовлетворяла и второму из равенств

Заменив здесь на основании (8.5) через получим

или

Отсюда

Подставив это значение в (8.7), получим

Теперь и непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция (8.10) удовлетворяет равенству (8.2) в круге Формула (8.10) доставляет все функции в круге удовлетворяющие равенству (8.2). Полагая в получаем решение уравнения (8.1) в круге согласно (8.4), в виде

При имеем

Это равенство доставляет решение задачи Коши при в неявном виде. Напомним, что частные производные от левой части (8.12) по х и у в точке соответственно равны Так как предположено, что одновременно они не равны нулю, то, согласно теории неявных функций, решение, данное формулой (8.12), представимо в окрестности точки либо в виде либо в виде Если построенное решение подходит к граничной точке круга то решение, проходящее через точку мы можем построить в виде

Это позволяет продолжать полученное решение. Если — односвязная область, то, как известно из анализа,

функцию можно получить при условии (8.5) во всей области в виде криволинейного интеграла

и решение задачи Коши в виде

В случае многосвязной области функция (8.14) также определена во всей области но может оказаться многозначной. В этом случае можно получать продолжение решения задачи Коши при помощи формулы (8.15) так же, как и при помощи формулы (8.11), так как во всей односвязной части области D любая ветвь функции (8.14) удовлетворяет равенству (8.2). Значения любой ветви функции (8.14) в односвязной части области отличаются от значений другой ветви, построенной в этой области на постоянное число, откуда и следует свойство (8.2) функции (8.14) в случае многосвязной области (см. [16, § 145]).

Пример 1. Здесь условие (8.5) выполнено во всей плоскости с выключенной точкой (0,0) (т. е. в двусвязной области). Легко находим

или, меняя значение Решение задачи Коши для точки согласно (8.12), получим в виде

Пример Условие (8.5) выполнено, поэтому при согласно (8.12), получим