§ 5. Продолжение § 4
Теперь будем рассматривать уравнения
с переменными ограниченными коэффициентами
где ряд (5.1) сходится равномерно при
в области Будем
применять только что использованный метод. Из (5.1) и (5.2) имеем
и
при
Отсюда имеем
или
Теперь будем искать
в смысле
где
Очевидно, имеем
при
Наконец,
Следовательно, имеем
Отсюда следует, что при
если
— конечное, то
Если
Так же получим
Если
то
в случае, когда
— конечное. Продолжая это рассуждение, найдем
— произвольное.
Рассмотрим случай (5.12) и пусть
Здесь мы приняли во внимание равенство
Очевидно также, что
так как
Далее имеем
Учитывая все эти равенства, получаем
Мы в сущности доказали равенство
или
где
при
Этот процесс можно продолжать. Если
то получим
где
будет найдено так же, как мы нашли
Именно, в этом случае имеем
где
при
или при
Но тогда
Здесь
ограничены при
И так как
то при
будет
при
А тогда
при
, так как
Следовательно,
при
Учитывая все это и переходя в (5.15) к пределу при
получим
если
если
Если же
то при переходе к пределу в формуле (5.15) при
не получим конечного предела, так как к бесконечности стремятся члены
Следовательно, при
имеем
и при
имеем
Таким образом, при
мы всегда найдем асимптотическое разложение (1.1) для решений уравнения (5.1), где z — решение уравнения (5.2). Не будем останавливаться на том, что если коэффициент при
будет знакопостоянная функция
то во многих случаях это уравнение можно преобразовать к случаю, когда
Но если нет асимптотического разложения вида (1.1), то надо его искать в другой форме, как это было показано в § 1, 3 и 4.
Дополнительно см. [26, 27].