§ 5. Продолжение § 4

Теперь будем рассматривать уравнения

с переменными ограниченными коэффициентами где ряд (5.1) сходится равномерно при в области Будем

применять только что использованный метод. Из (5.1) и (5.2) имеем

и

при Отсюда имеем

или

Теперь будем искать

в смысле

где

Очевидно, имеем

при

Наконец,

Следовательно, имеем

Отсюда следует, что при если — конечное, то

Если

Так же получим

Если то в случае, когда — конечное. Продолжая это рассуждение, найдем — произвольное.

Рассмотрим случай (5.12) и пусть

Здесь мы приняли во внимание равенство

Очевидно также, что так как Далее имеем

Учитывая все эти равенства, получаем

Мы в сущности доказали равенство

или где при Этот процесс можно продолжать. Если то получим

где будет найдено так же, как мы нашли Именно, в этом случае имеем

Имеем при поэтому

Рассмотрим теперь

Здесь первое слагаемое при Покажем, что второе слагаемое при Действительно, в скобке стоят члены вида которые, согласно (5.14), можно записать в виде

где при или при Но тогда

Здесь ограничены при И так как то при будет при А тогда

при , так как Следовательно, при Учитывая все это и переходя в (5.15) к пределу при получим

если

если Если же то при переходе к пределу в формуле (5.15) при не получим конечного предела, так как к бесконечности стремятся члены

Следовательно, при имеем

и при имеем

Таким образом, при мы всегда найдем асимптотическое разложение (1.1) для решений уравнения (5.1), где z — решение уравнения (5.2). Не будем останавливаться на том, что если коэффициент при будет знакопостоянная функция то во многих случаях это уравнение можно преобразовать к случаю, когда

Но если нет асимптотического разложения вида (1.1), то надо его искать в другой форме, как это было показано в § 1, 3 и 4.

Дополнительно см. [26, 27].