§ 2. Признаки интегрируемости уравнения (1.1) в замкнутой форме

Можно, выбирая различные функции и Ф в (1.39), требовать существования решения в той или другой форме. Это доставит нам некоторые простые способы и признаки

приведения уравнения (1.1) к интегрируемому уравнению (1.3), что и позволит указать интегрируемые уравнения (1.1). Приведем примеры:

1. Пусть в (1.39) взяты т. е. уравнение (1.39) имеет вид

Будем искать решение этого уравнения в виде

Подставим это в (2.1)

Чтобы получить решение II класса уравнения (1.7) (здесь уравнения (2.1)), надо найти из уравнения

т. е.

Подставим это в (2.3) и умножим на

Здесь мы в самом начале положили это значит, что уравнение (1.3) имеет вид откуда получим

где удовлетворяют равенству (2.5).

Таким образом, если при заданном в (1.1) нам удастся найти из уравнения (2.5), то общее решение уравнения (1.1) получим в виде (2.6).

Но на все это можно смотреть иначе. Именно, пусть задана при помощи произвольных функций равенством (2.5). Тогда общее решение уравнения (1.1) имеем в виде (2.6). Можно еще заметить следующее. Из (2.5) имеем

поэтому уравнение (1.1) можно записать в виде уравнения

для которого - интегрирующий множитель. Мы ранее заметили, что для каждого уравнения, интегрируемого в замкнутой форме, легко указать и интегрирующий множитель.

2. Вернемся к уравнению (1.15). Подчиняя тому условию, что это уравнение можно записать в одном из видов (1.8) или мы получаем условие интегрируемости уравнения (1.5). Положим, например, т. е. уравнение (1.2) будет вида

Положим

Так как

то

Дифференцируя это по а, получаем

При этом условии уравнение (2.7) проинтегрируется. Покажем это. Согласно выбору Ф, уравнение (1.3) здесь имеет вид - линейное уравнение, для которого интегралом будет

или (подставляем значение

Таким образом, если в уравнении — произвольное, задано равенством (2.8), то интеграл уравнения (2.7) имеем в виде (2.10). Надо, конечно, помнить, что здесь всюду — частные фиксиррванные интегралы по X.

Пусть теперь дано уравнение (2.7), где удовлетворяют равенству (2.9). Тогда из имеем

В соответствии с (2.8), если

то (2.10) будет интегралом уравнения (2.7). Но (2.12) будет выполнено за счет выбора . И если так взято, то, как легко видеть, интеграл (2.10) примет вид

Мы получим другие условия интегрируемости уравнения (2.7), если уравнение (2.7) запишем в виде

На основании (2.9) эти условия получим в виде

а интегралом будет

если

Выбирая в (1.9) значение так, чтобы уравнение (1.3) интегрировалось, мы получаем другие условия интегрируемости уравнения (1.15). Пусть, например,

где а, b и с — постоянные. Тогда уравнение (1.15) запишем в виде

Возьмем

и

Дифференцируем это равенство по

Разделим это равенство на и продифференцируем по х. Тогда получим

Это и есть условие интегрируемости.

Уравнение (1.3) здесь имеет вид

откуда и получаем интеграл уравнения (2.15)

где дано равенством (2.16).

Мы можем получить и более общие условия интегрируемости так же, как получили условия (2.13). И так же легко получим условия интегрируемости, полагая, например,

или

или

где — постоянное.

Мы уже отметили, что метод преобразования может оказаться полезным не только для элементарного интегрирования, но и в том случае, когда некоторые свойства решений преобразованной системы исследуются проще, нежели у исходной системы. Сейчас рассмотрим примеры на эту тему.

Пусть предложена система (1.15)

где например, сходящиеся ряды

Поставим перед собой задачу найти решение

Так как здесь то в окрестности точки (0,0) не выполнены условия теорем Пикара и Коши, поэтому возникают новые принципиальные трудности при решении вопроса существования и построения такого решения. Если угодно, точка (0, 0) — граничная для области, в которой определено уравнение (2.24), и речь идет о возможном поведении решений в окрестности граничной точки.

Но предположим, что уравнение (2.24) удалось записать в виде

Тогда вместо уравнения (2.26) можно рассматривать уравнение типа (1.12):

Здесь

при

Пусть

— решение уравнения (2.27) с начальными условиями (2.28). Тогда это и будет искомое решение уравнения (2.24)

Пример. Предположим, что в уравнении (2.26)

где - постоянные и ряды сходятся в окрестности точки Положим

Тогда, согласно (2.26) и подставляя получим

Можно написать и этот ряд сходится при Функция представима сходящимся в окрестности точки рядом:

Следовательно, можно вместо (2.26) здесь рассматривать уравнение (2.27) вида

Нас интересует решение, обладающее свойством (2.25), поэтому найдем решение уравнения (2.32), обладающее свойством

Такое решение, согласно теореме Коши, существует, единственно и представимо рядом

где который сходится при некоторое постоянное.

Из (2.32) имеем

поэтому

Искомое решение уравнения (2.26), согласно (2.29) и (2.30), имеем в виде

где

Из (2.36) получим

Отсюда видим, что при вещественного решения при нет, так как при и при малых под знаком корня число отрицательное, а следовательно, х будет мнимым. Но при такое решение есть, и приближенно его можно записать (при малых в виде

Здесь отброшены малые выше третьего порядка.

Рассмотрим частный случай, когда

т. е. уравнение вида

Здесь будет

и уравнение (2.32) принимает форму

Это линейное уравнение относительно откуда

Так как должно быть при то произвольная постоянная и

А искомое решение уравнения (2.39) получаем в виде

Можно и в общем случае уравнения (2.26), когда ряды пробовать найти в виде рядов

из равенства

Можно, например, пробовать полагать

и искать в виде ряда из равенства