ГЛАВА XIV. ФРАГМЕНТЫ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ КОНСТРУКТИВНОЙ ТЕОРИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой главе мы будем рассматривать вопросы существования и построения периодических решений, заполняющих область центра, и изолированных (предельные циклы).

При построении периодических решений, заполняющих область центра, мы воспользуемся методами Ляпунова и Пуанкаре, а при рассмотрении изолированных периодических решений — методами Пуанкаре, Каменкова и некоторыми их модификациями. Вопросы о периодических решениях в нашей книге рассматривались в главе IV, § 2, главе V, § 5—7, главе VI, § 4, 6 и главе XI, § 2, 4—10.

В главе XI мы рассмотрели и задачу Пуанкаре о периодических решениях системы с малым параметром X, если предельная система имеет периодическое решение. Здесь если, например, то период предельной системы определяется периодом функций тем самым определяется и период решений исходной системы.

Задача значительно усложняется, когда рассматриваем систему т. е. когда не содержит (автономная система). Здесь период периодического решения и множество периодических решений исходной системы и предельной остаются неопределенными и подлежат изучению. Правда, когда предельная система будет линейной, то период и множество периодических решений легко находятся, но это не облегчает решение вопроса и даже, наоборот, затрудняет. В этой главе именно эти вопросы нас и будут интересовать. В § 6 и 7 главы XI они уже были слегка затронуты.

§ 1. Периодические решения вокруг центра (Ляпунов)

Дана система

где — ряды без свободных и линейных членов.

Точка (0, 0) называется центром, если в окрестности этой точки интегральные кривые замкнутые, окружающие эту точку, которым соответствуют периодические решения (глава XI, § 4).

Может случиться, что в окрестности точки (0, 0) интегральные кривые будут спиралями, окружающими эту точку, тогда точка (0, 0) называется фокусом. Другие случаи здесь невозможны (Пуанкаре, Ляпунов). Необходимым и достаточным условием центра является существование в окрестности (0, 0) голоморфного интеграла вида где — сходящийся в окрестности (0, 0) ряд [57]

Следовательно, для имеем тождество

Например, существует, если . Действительно, в этом случае для функции

получаем

поэтому для найдем

т. е. уравнения канонические, имеют вид

откуда и следует, что интеграл системы и в окрестности (0, 0) кривые замкнутые, т. е. соответствуют периодическим решениям (глава XI, § 4).

Для системы где — однородные полиномы второй степени, найдены все случаи, когда (0, 0) будет центром. Эту задачу решали Сахарников, Лукашевич и другие. Итоговой является статья К. С. Сибирского [XIV]. Если в введем новую независимую переменную то эта система перейдет в систему с поэтому будем рассматривать систему

и будем предполагать, что точка (0, 0) есть центр. Таким образом, вокруг точки (0, 0) расположены замкнутые интегральные кривые, которым соответствуют периодические решения. В этом случае Ляпунов создал метод построения периодических решений [57]. Рассмотрим этот метод.

Если введем полярные координаты то получим

и второе уравнение можно будет переписать в виде

— однородные многочлены от 2-й степени. Очевидно, можно написать и так:

где — однородные многочлены от степени. Как видим из (1.3), если остается достаточно

малым, то при Ляпунов доказал [57], что в случае центра уравнение (1.5) имеет решение вида

где — многочлены от , а С — произвольная постоянная, достаточно малая по модулю. Область центра (заполненная периодическими решениями) ограничена интегральными кривыми Эта область может быть конечной или бесконечной. Например, она будет конечной, если ограничена интегральной кривой, оба конца которой входят в точку покоя, отличную от (0, 0). Эта область будет бесконечной, если ограничена интегральной кривой (одной или несколькими), оба конца которой уходят в бесконечность. В общем случае качественная картина границы области центра исследована Н. А. Сахарниковым [XVI]. В случае, когда — однородные полиномы второй или третьей степени (и точка (0, 0) — центр), качественная картина на всей плоскости исследована Н. А. Лукашевичем [XVII] и его последователями. Но не всегда даже в этом случае удается построить граничные интегральные кривые. И даже в случае полиномов второго и третьего порядков неизвестно, все периодические решения в области центра представимы в виде (1.6) или только в окрестности точки (0, 0), так как сходимость ряда (1.6) у Ляпунова доказана лишь при малых И если не все периодические решения области охватываются представлением в виде (1.6), то какая часть области охватывается представлением в виде И что, какой фактор ограничивает представление периодических решений — например, если — однородные полиномы второй степени?

Итак, если для уравнений (1.1) точка — центр, то ряд (1.6) существует и сходится при Как получить периодические решения соответствующие Вначале получим периодическую функцию после чего будем иметь периодическое, а тогда получим и — периодические. Подставим (1.6) в (1.3) и представим снова уменьшено)

где полиномы от Следовательно, из (1.3) имеем

Рассмотрим где Отсюда

Эта функция обладает свойством

Действительно,

Покажем, что не зависит от

Следовательно, можно в положить Равенство (1.9) доказано. Отсюда следует, что равенство (1.8) определяет функцию обладающую свойством (1.9) с

Обозначая - получаем и

Имеем

где полиномы от Заменяя в (1.10)

и подставляя это значение в (1.12), получаем

где периодические с периодом На основании (1.11) легко покажем, что функции (1.13) можно представить в виде

где — периодические функции от с периодом Отсюда следует и то, что если в уравнениях (1.1) сделаем замену

то получим уравнения

которые при соответствующем выборе имеют периодическое 1 решение (1.14) с периодом

Замечание 1.1. Так как период (по

зависит от произвольной постоянной С, то для каждого периодического решения период свой. Но возможны случаи, когда Тогда период Т не зависит от С и равен Такие системы называются изохронными [XVIII]. Следовательно, периодические решения таких систем (в окрестности имеют вид

где — периодические с периодом

Пример, Это равносильно системе

откуда

и

Так как в круге с малым то в окрестности начала координат при малых - замкнутая интегральная кривая, а соответствующие решения периодические:

Как найти эти решения? Имеем

поэтому

Найдем период функций Из

Извлекаем корень и находим (при некоторых

Таким образом, мы нашли период периодических решений Рассмотрим частный случай

Это голоморфный интеграл, поэтому точка — центр. Полагая получаем откуда ограниченное положительное

Подставим значения После подстановки значения

Отсюда имеем

поэтому периодическое решение с периодом Т получаем в виде

Здесь при увеличении убывает